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1、14-5线段最大值与最小值的解题思路回顾：1 .线段公理一一两点之间，线段最短；2.对称的性质一一关于一条直线对称的两 个图形全等；对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3.三角形两边之和大于 第三边；4.三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短一、两点之间线段最短、垂线段最短线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短 以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。例1.如图，在平面直角坐标系Sy 中ABC三个点的坐标分别为A（6,0），B（6,0），C （0,4,3 ），延长AC到点D,使CD=1 AC，过点D作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点
2、的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的 直线y = kx + b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y = kx + b与y 轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y 轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位 置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确 定G点位置的方法，但不要求证明）这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径： 简化图形一转化题意一由果索因一画图说理 课堂练习：1如图，在ABC中，AC=BC=2, NACB=90。，D是
3、BC边的中点， E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是2在锐角 ABC 中，AB = 4七2，ABAC = 45 ，ZBAC的平分线交BC于点D，M、N分别看数据的特殊性，30P点在y轴上运动的速度是它在 直线GA上运动速度的2倍.P点在GH上运动速度等于它在 直线GA上运动速度.最小值是是AD和AB上的动点，则BM + MN求GH+GA的最小值.例2、如图2,正方形ABCD的边长为4,ZDCB的平分线CE交DB于点E,若点P, Q分别是CD和CE上的动点，则DQ+PQ的最小值()A.2 B. 2.巨C.4 D. 4巨已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究
4、下列问题：(1) 如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ZACB=60，则CD=；(2) 如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ZACB=90，则CD=；B(3) 如图3,当ZACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相 应的ZACB的度数.图1二、三角形两边之和大于第三边 求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是 已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。在转化较难进 行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。例1在RtMBC中，ZACB=90，tanZBAC
5、=-.点D在边AC上(不与A，C重合)，连 2结BD，F为BD中点.(1) 若过点D作DEYAB于E，连结CF、EF、CE，如图1.设CF kEF，则k =；(2) 若将图1中的AIDE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示.求证：BE-DE=2CF；(3) 若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD 中点，求线段CF长度的最大值.课堂练习（西城 8）如图，在ABC 中，匕C=90, AC=4, BC=2,点 A、C / 分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在j轴如 上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是WA. 2垣
6、 + 2B. 2焰 C。2j6D. 6, H ,三、线段差的问题- 1 A已知两点A、B与直线l （AB与l不平行且在l同侧），动点P在 i 上，求 IPA - PB| 。连接AB并延长交直线l于点P，则点P为所求最大值时所取的点，AB = |PA| - PBmax先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）【材料一】：如图，直线l上有A1、A2两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P 到点A、A的距离之和最小，很明显点P的位置可取在A和A之间的任何地方，此时距离1212之和为A1到A2的距离.如图，直线l上依次有A1、A2、A3三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P 到点A、A、
7、A的距离之和最小，不难判断，点P的位置应取在点A处，此时距离之和为1232A1到的距离.（想一想，这是为什么？）1不难知道，如果直线l上依次有A、A、A、A四个点，同样要确定一点P，使它到1234各点的距离之和最小，则点P应取在点A和A之间的任何地方;如果直线l上依次有A、A、2312A、A、A五个点，则相应点P的位置应取在点A的位置.3453A3图图【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为a-b.【问题一】：若已知直线l上依次有点A、A、A、A共25个点，要确定一点 12325P，使它到已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在;若已知直线l上依次有点A、A、A、A共50个点，要
8、确定一点P，使它到12350已知各点的距离之和最小，则点P的位置应取在.问题二】：现要求x +1| + x + x1 + x2 + x3 + x97|的最小值，根据问题一的解答思路，可知当因值为 时，上式有最小值为.E为正方形ABCD的边BC上的中点，且BC=2，请在对角线BD上找一个点四、几种变式 变式1 .如图1P使PC+PE的值最小为图1图2变式2.如图3,在直角梯形ABCD中，ZABC=90图4ADBC, AD=4, AB= 5, BC = 6，点H使四边形EFGH周长最小，并求出此时的周长。F图 3-7 CP是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为.变式3、如图3，梯形A
9、BCD中，AD/BC，BE平分ZABC，且BEXCD于E，P是BE上 一动点。若BC = 6，CE=2DE，贝I PC - PA I的最大值是 变式4如图2，如图，CD是。O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，则（1） AP+BP的最小值为. （2） AP-BP 的最大值为.变式5.如图3-7，正方形ABCD的边长为4，CE=3，CF=2，请在边AB,AD上找两个点G、变式6、抛物线y = 3X2 - ?x + 3和j轴的交点为A,M为OA的中 点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设 为点E ），再沿直线运动到该抛物
10、线对称轴上的某点（设为点F ），最 后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的 坐标，并求出这个最短路程的长。变式7、如图（1），直线y = -y3x + 2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，0A经过点B和点O，直线BC交。A于点D。（1）求点D的坐标； （2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。变式8、如图3-8，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系.已知OA=3, OC=2，点
11、E是AB的中点，在OA上取一点D,将 BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.(1) 直接写出点E、F的坐标；(2) 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，.且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形， 求该抛物线的解析式；(3) 在乂轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得 四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最 小值；如果不存在，请说明理由.变式9 (2010天津市)在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶图如8、B 分别在x轴、y轴的正半轴上，OA = 3，OB=4, D为边OB的中点.(I) 若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；(II
12、) 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时，求点E、 F的坐标.变式10.如图，已知直线y = 1X +1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线 y = 2 X2 + bx + c与直线交于A、E两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。在抛物线的对称轴上找一点M，使I AM -MC I的值最/大，求出点M的坐标。变式11、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，)在抛物线y = ax2上.(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点0使得AQ+QB最短， 求出点Q的坐标；(2)平移抛物线y = ax2，记平移后点A的对应点为A，点B的对
13、应点为B，点C(-2, 0) 和点D(-4, 0)是x轴上的两个定点. 当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存 在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.作业1、(北京市竞赛题)如图(11),在矩形ABCD中，AB=20 cm, BC=10cm,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，求 这个最小值。2如图(12)在菱形ABCD中，/DAB=1200，点E平分BC,点P在BD上，且PE+PC=1，那么边长AB的最大值是3、如图13,已知正比例函数和反比例函数
14、的图像都经过点M(2, 1)，且P ( 1 ,- 2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分 别是A、B.(1) 写出正比例函数和反比例函数的关系式；(2) 当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q,使得 OBQ与 OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；(3) 如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行 四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.图13图14提高作业(利用旋转对称变换)2010宁德第25题：如图，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线BD(不
15、含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针 旋转 60 得到 BN，连接 EN、AM、CM.(l)求证：AMB ENB； 当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM + BM+CM的值最小，并说明理由;当AM+BM+CM的最小值为y3 1时，求正方形的边长.2.阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=5， PB=t2，PC=1，求 ZBPC 的度数.小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将BPC绕点B逆时针旋转90，得到了 BPA (如图2)，然后连结PP.请你参考小明同学的思路，解决下列问题：(1) 图2中/BPC的度数为；(2) 如图3,若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA= 213，PB=4, PC=2,贝ZBPC
