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1、。数列求和专题复习一、公式法1. 等差数列求和公式： Snn(a1 an )na1n( n 1) d22na1q n )(q1)2. 等比数列求和公式： Sna1 (1a1an q1)1q1(qq3. 常见数列求和公式：nSnk 11n(n 1) ； Snn1n(n 1)(2n 1) ； Snn 1n(n 1) 2kk2k 32k 16k 12例 1：已知 log 3 x1，求 x x2x3xn的前 n 项和 .log 2 3例2：设S1 2 3n，n N , 求f (n)Sn的最大值 .n32) Sn 1(n精选资料，欢迎下载。二、倒序相加法似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个
2、数列an ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法 .例 3：求 sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin 2 88sin 2 89 的值例4：求 21222321022 的和1022292322102181变式 1：已知函数 fx2x22x（ 1）证明： f xf 1 x1128f9的值 .；（2）求 fff10101010精选资料，欢迎下载。三、裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的
3、.通项分解（裂项）如：（ 1） anf (n1)f (n)（ 2）sin 1tan(n1)tan ncos(n 1)cosn（ 3） an11)111（ 4） an(2n(2n) 21)11 (11)n(nnn1)( 2n2 2n 12n1（ 5） ann(n12)1 1(n12)1)( n2n(n 1)1)( n(6)ann 212(n 1) n 111n , 则 Sn11n(n1)2nn(n1)2nn2n1(n1)2(n 1)2n例 5：求数列1,1,1,的前 n 项和 .2nn 1123例 6：在数列an 中， an12n ，又 bn2，求数列bn 的前 n 项的和 .n 1 n 1n
4、1an an 1精选资料，欢迎下载。111cos1变式 1：求证：cos1 cos2cos88 cos89sin 2 1cos0 cos1四、 q 倍错位相减法类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法. 若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差比”数列，则采用错位相减法.若 anbn cn ，其中bn 是等差数列，cn是公比为 q 等比数列，令Snb1c1 b2c2bn 1cn1 bn cn则 qSnb1c2b2 c3bn 1cnbncn 1两式相减并整理即得例 7：求和： Sn 1 3x5x 27x3(2n1) xn 1例 8：求数列2462n,前 n 项的
5、和 .2,2 ,23 ,n22精选资料，欢迎下载。五、分组求和法有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列. 若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 9：求和： Sn2 3 5 143526 35 32n 3 5 n例 10: 求数列n( n1)(2n1) 的前 n 项和 .课后巩固：1.等比数列 an 的前 n 项和 Sn2n1，则 a12a22a32an2 _.2.设 Sn135 7(1)n (2 n1) ，则 Sn _.3.111.1447(3n2)(3n1)4.1111=.2 4354.(n1)(n63)精选资料，欢迎下载。5.
6、数列 1,(1 2),(1222),(12222n1 ),的通项公式 an，前 n 项和 Sn.6.1 35,2n1 ,; 的前 n 项和为.2,22 ,23,2 n7. 数列 an满足：a11，且对任意的 m, nN * 都有：amnamanmn ，则 1111a1a2a3a8002( )A. 4016B. 2008C. 2007D. 200720092009100420088. 数列nn都是公差为1的等差数列， 若其首项满足a1 b15a1b1，a1, b1N ,则数列 abn a、 b，且前 10 项的和等于 ()A 100B 85C 70D559. 设 m 1 2 2 33 4(n 1) n ，则 m 等于 ()A. n(n 21)B.1n(n4)C.1n(n5)D.1n(n7)322210. 若 Sn1 234( 1) n 1n ，则 S17S33S50 等于 ()A.1B.-1C.0D.211. 设 an为等比数列 , bn为等差数列，且 b10
