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1、二次函数和圆 一解答题（共15小题）1（2012宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（xm）2+n经过点EM与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1）a（1）求点A的坐标和ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边CDE的边CE第一次与M相切？考点：二次函数综合题1171131专题：代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合分析：（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐
2、标；令y=0，能得到B点坐标；在RtOAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到ABO的读数（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即RtMEP入手，首先CED=60，而MEP=MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长
3、，即可求出PE及点C、E的坐标然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解解答：解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=，OA=1，OB=，=A的坐标是（0，1）ABO=30（2）CDE为等边，点A（0，1），tan30=，D的坐标是（，0），E的坐标是（，0），把点A（0，1），D（，0），E（，0）代入 y=a（xm）2+n，解得：a=3（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CHx轴，H为垂足，过A作AFCH，F为垂足CDE是等边三角形，ABO=30BCE=90，ECN=90CE，AB分别与M相切，MPC=CNM=90，四边形MPCN
4、为矩形，MP=MN四边形MPCN为正方形MP=MN=CP=CN=3（1）a（a0）EC和x轴都与M相切，EP=EQNBQ+NMQ=180，PMQ=60EMQ=30，在RtMEP中，tan30=，PE=（3）aCE=CP+PE=3（1）a+（3）a=2aDH=HE=a，CH=3a，BH=3a，OH=3a，OE=4aE（4a，0）C（3a，3a）设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）23aE在该抛物线上a（4a+3a+）23a=0得：a2=1，解之得a1=1，a2=1a0，a=1AF=2，CF=2，AC=4点C移动到4秒时，等边CDE的边CE第一次与M相切点评：这道二次函数综合题目涉及的知识点
5、较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键2（2012盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t0）的变化规律为y1=+2t现以线段OP为直径作C当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与C是否始终保持这种位置关系？请
6、说明你的理由若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与C相交？此时，若直线l被C所截得的弦长为a，试求a2的最大值考点：二次函数综合题1171131专题：压轴题；动点型分析：（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解（2）由于OP是C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与C的位置关系该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与
7、点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被C截得的弦最长（为直径），此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解解答：解：（1）将点A（2，0）和点B（1，）分别代入y=x2+mx+n中，得：，解得：，抛物线的解析式：y=x21；（2）将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：x21=+2t，x=，P（，+2t），圆心C（，+t），点C到直线l的距离：+t（1）=t+；而OP2=8t+1+（+2t）2，得OP=2t+，半径OC=t+；直线l与C始终保持相切、当圆心C在直线l上时，+t=1+3t，t=；此时直线l与C相交； 当0t时，C到直线l的距离：+
8、t（1+3t）=2tt+，直线l与C相交； 当t时，C到直线l的距离：1+3t（+t）=2t，若直线l与C相交，则：2tt+，t； 综上，当0t时，直线l与C相交；、若a2最大，则a为C的直径，此时点C在直线l上，由知：此时t=，半径OC=t+=，直径a=，0t时，圆心C到直线l的距离为d=|2t|，又半径为r=t+，a2=4（r2d2）=4（t+）2|2t|2=12t2+15t，t=时，a的平方取得最大值为点评：该题是函数的动点问题，其中涉及直线与圆的位置关系等综合知识；在处理此类问题时，要注意寻找关键点以及分段进行讨论，以免出现漏解3（2012南充）如图，C的内接AOB中，AB=AO=4，
9、tanAOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（2，6）（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与C相切于点A，交y轴于点D动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQAD时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当ROB面积最大时，求点R的坐标考点：二次函数综合题1171131分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度当PQAD时，
10、过点O作OFAD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形则在RtODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；（3）因为OB为定值，欲使ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可按照这个思路解决本题如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而ROB的面积最大联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（2，6），解得抛物线的解析式为：y=x22x（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得ACOBAD为切线，ACAD，ADOB过O点作OFAD于F，四边
11、形OFAE是矩形，tanAOB=，sinAOB=，AE=OAsinAOB=4=2.4，OD=OAtanOAD=OAtanAOB=4=3当PQAD时，OP=t，DQ=2t过O点作OFAD于F，则在RtODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQFQ=DQOP=2tt=t，由勾股定理得：DF=1.8，t=1.8秒；（3）如答图2，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时ROB中OB边上的高最大，所以此时ROB面积最大tanAOB=，直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b点R既在直线l上，又在抛物线上，x22x=x+b，化简得：2x211x4
12、b=0直线l与抛物线有唯一交点R（相切），判别式=0，即112+32b=0，解得b=，此时原方程的解为x=，即xR=，而yR=xR22xR=点R的坐标为R（，）点评：本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理和解直角三角形等重要知识点难点在于第（3）问，判定何时ROB的面积最大是解决问题的关键本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实和灵活运用才能够顺利解答本题第（3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨4（2012荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点
13、的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0t3）时，AOE与ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围考点：二次函数综合题1171131专题：代数几何综合题；压轴题；分类讨论分析：（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析
14、式，进而能得到顶点B的坐标（2）过B作BMy轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出BME、AOE都为等腰直角三角形，易证得BEA=90，即ABE是直角三角形，而AB是ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可BE、AE长易得，能求出tanBAE的值，结合tanCBE的值，可得到CBE=BAE，由此证得CBA=CBE+ABE=BAE+ABE=90，此题得证（3）ABE中，AEB=90，tanBAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：有一个角是直角、两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可（4）过E作EFx轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，AOE与ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，AOE与ABE重叠部分是个三角形按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解解答：（1）解：由题意，设
