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1、铜仁一中2020学年度第二学期高二期末考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.设集合,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再利用交集求得答案.【详解】故答案选B【点睛】本题考查了集合交集的计算，属于简单题.2.若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将参数方程转化为普通方程，再计算斜率.【详解】直线的参数方程为（t为参数）即答案为D【点睛】本题考查参数方程转化为普通方程，属于简单题.3.全称命题“所有被5整除的
2、整数都是奇数”的否定（ ）A. 所有被5整除的整数都不是奇数B. 所有奇数都不能被5整除C. 存在一个被5整除的整数不是奇数D. 存在一个奇数，不能被5整除【答案】C【解析】全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个被5整除的整数不是奇数”，对比四个选项知，C选项是正确的故选C4.函数的零点所在的一个区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】为增函数，.所以函数零点所在的一个区间是.故选C.5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将-x代入选项，判断是否为偶函
3、数，如果是偶函数再判断它在区间上的单调性。【详解】由题B，C，D选项的函数为偶函数，在区间上单调递减，单调递增，有增有减，故选B。【点睛】本题考查偶函数的性质和函数的单调性，属于基础题。6.设,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用中间值、比较大小，即先利用确定三个数的正负，再将正数与比较大小，可得出三个数的大小关系。【详解】由于函数在定义域上是减函数，则，且，由于函数在定义域上是减函数，则，函数在定义域上是增函数，则，因此，故选：A.【点睛】本题考查指对数混合比大小，常用方法就是利用指数函数与对数函数单调性，结合中间值法来建立桥梁来比较各数的大小关系，属于常考题，考查
4、分析问题的能力，属于中等题。7.化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，式子可变形为，即或，所以x2+y2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。8.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.9.设原命题：若a+b2，则a,b 中至少有一个不小于1则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A. 原命题真，逆命题假B. 原命题假，逆命题真C. 原命题与
5、逆命题均为真命题D. 原命题与逆命题均假命题【答案】A【解析】试题分析：因为原命题：若a+b2，则a，b中至少有一个不小于1的逆否命题为：若a，b都小于1，则a+b2显然为真，所以原命题为真；原命题：若a+b2，则a，b中至少有一个不小于1的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b2，是假命题，举反例为a1.2，b0.3，选A.考点：1.四种命题的关系；2.命题真假的判断10.设函数的定义域为，满足，且当时，则当，的最小值是（ ）A. 6B. 2C. -1D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数周期将，的最小值转化为当时的最小值，求得答案.【详解】设函数的定义域为，满足，周期为1当，的
6、最小值等价于当时的最小值当时故答案为D【点睛】本题考查了函数的周期，二次函数的最小值，等价转化是解题的关键.11.已知,均是定义在R上的函数，且，当时,，且，则不等式的解集是（ ）A. (1，0)(1，+)B. (1，0)(0，1)C. (，1)(1，+)D. (，1)(0，1)【答案】D【解析】【分析】构造新函数，判断函数单调性和奇偶性，计算得到答案.【详解】，,分别为奇函数偶函数.构造新函数则为奇函数当时，递增.当时，递增，故答案选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性，解不等式，构造新函数是解题的关键.12.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”，
7、已知当时，在上是“凸函数”，则在上 ( )A. 既有极大值,也有极小值B. 既有极大值,也有最小值C. 有极大值,没有极小值D. 没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】此题考查函数极值存在的判定条件思路：先根据已知条件确定m的值，然后在判定因为时，在上是“凸函数”所以在上恒成立，得在是单调递减，的对称轴要满足与单调递增单调递减，当时有极大值，当时有极小值所以在上有极大值无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。13.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，则=_;【答案】【解析】【分析】先计算，再根据奇函数得到.【详解】当 时，函数 是定义在 上的奇函数故答案为【点睛】本题
8、考查了函数的奇偶性，属于简单题.14.设函数，则_;【答案】【解析】【分析】先结合分段函数的解析式计算，代入可求出的值。【详解】由题意可知，因此，故答案为：。【点睛】本题考查分段函数求值，在计算多层函数值时，遵循由内到外逐层计算，同时要注意自变量的取值，选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题。15.已知函数在上有个不同的零点，则实数的取值范围为_;【答案】（-3，1）【解析】【分析】取，参数分离，画出图像得到答案.【详解】画出图像：实数a的取值范围为（-3，1）故答案为：（-3，1）【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离画出图像是解题的关键.16.已知函数满足对任意，都有成立，
9、则实数a的取值范围为_。【答案】【解析】【分析】由题函数是单调减函数；则，解得a的取值范围【详解】对任意x1x2，都有成立，说明函数yf(x)在R上是减函数，则，解得 .即答案为.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知 ，设 ：实数 满足 ， ：实数满足|x-3|1.（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分别求出p，q为真时的x的范围，取交集即可；（2）根据q是p的充分
10、不必要条件结合集合的包含关系，求出a的范围即可试题解析：(1)由,得,又,所以，当时,又得，由pq为真.满足即.则实数x的取值范围是，(2)q是p的充分不必要条件,记,则B是A的真子集, 且，则实数a的取值范围是.18.已知集合为全体实数集，,.（1）若, 求（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）( )；（2）【解析】【分析】（1）将代入集合得到，再计算.（2）即N集合对应范围小于等于M集合对应范围，得到答案.【详解】解：（1）当时, 所以 所以（2）,即时, 此时满足.当,即时,由得 或所以综上,实数 的取值范围为【点睛】本题考查了集合的补集并集的计算，子集问题，没有考虑空集是容易犯的错
11、误.19.已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，满足成立，求的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先计算切点，根据切线方程公式得到答案.（2）将存在性问题转化为最值问题，求最大值，求导，根据单调性确定函数的最大值.【详解】解：(1) 在处的切线方程为： 即(2) 即 令 时， ，时， ， 在上减，在上增又时， 的最大值在区间端点处取到. 在上最大值为，故的取值范围是：.【点睛】本题考查了函数的切线问题，存在性问题，将存在问题转换为最大值问题是解题的关键.20.已知函数 的定义域是，对任意实数，均有，且时，（1）求值；（2）证明：在上是增函数；（3）若求不等式的解集
12、【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）令，代入数据计算得到答案.（2）设，判断的正负，得到答案.（3）首先判断函数为奇函数，计算，将不等式转换为，根据单调性得到答案.【详解】（1）令，则，（2）设， 则，当时，即则函数在上是增函数（3）令，则，即，则是奇函数，即不等式 的等价为函数在R上是增函数；即 解得，即不等式的解集为【点睛】本题考查了函数求值，利用定义法证明函数的单调性，函数的奇偶性，解不等式，综合性较强.21.已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）射线与曲
13、线交点为、两点，射线与曲线交于点，求的最大值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）先将曲线的参数方程化为普通方程，再由转化为极坐标方程，将曲线的极坐标利用两角差的正弦公式展开，由转化为直角坐标方程；（2）点和点的极坐标分别为，将点、的极坐标分别代入曲线、的极坐标方程，得出、的表达式，再利用辅助角公式计算出的最大值。【详解】（1）由曲线的参数方程（为参数）得：，即曲线的普通方程为，又， 曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程可化为， 故曲线的直角方程为；（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，其中则，于是其中，由于，当时，的最大值是【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，以
14、及利用极坐标方程求解最值问题，解题时要充分理解极坐标方程所适用的基本条件，熟悉极坐标方程求解的基本步骤，考查计算能力，属于中等题。22.已知函数（1）若，求函数的最大值；（2）令，讨论函数的单调区间；（3）若，正实数满足，证明.【答案】（1）f（x）的最大值为f（1）=0（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：（）代入求出值，利用导数求出函数的极值，进而判断最值；（）求出，求出导函数，分别对参数分类讨论，确定导函数的正负，得出函数的单调性；（）整理方程，观察题的特点，变形得，故只需求解右式的范围即可，利用构造函数，求导的方法求出右式的最小值.试题解析：（）因为，所以a=-2，此时f（x）=lnx-x2+x，f（x）=-2x+1，由f（x）=0，得x=1，f（x）
