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1、传染病问题中的 SIR 模型摘要：2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期 以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探 索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析 各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS 模型，SIR模型等。在这里我采用SIR (Susceptibles, Infectives, Recovered)模型来研究 如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强
2、的免疫力的传染病，它主要沿用由 Kermack 与 McKendrick 在 1927 年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病 发展变化的过程和传播规律,预测疾病发生的状态,评估各种控制措施的效果,为预防控 制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。关键字：传染病；动力学；SIR模型。一、模型假设1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因 素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数 N。人群分为以下三类：易感染者 (Susceptibles),其数量比例记为s(t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数 占总人数的比
3、例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为 病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered),其数量比例记为r(t), 表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有 传染性,也不会再次被感染,他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。2. 病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数入，日治愈率(每 天被治愈的病人占总病人数的比例)为常数口，显然平均传染期为1/ 口，传染期接触 数为。=入/。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设 有效接触率传染力是不变的。二、模型构成在
4、以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：入si1)在假设1中显然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为2)不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s ( s 0), i (i 0),0 0 0 0r =0.0SIR 基础模型用微分方程组表示如下didt3)dsdt dr=pi dts(t) , i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) , i(t)的一般变化规 律。三、数值计算在方程(3)中设入=1, 口 =0.3, i (0) = 0.02, s (0) =0.98，用 MATLAB软件编程:fu
5、nction y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0); plot(t,x(:,1),t,x(:,2) pause plot(x(:,2),x(:,1)输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，is图形称为相轨线，初 值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点，随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、 图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值，然后减少,t-,i-0,s(
6、t)则单调减 少,tfg,sf0.0398.并分析i(t),s(t)的一般变化规律.t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398表1i
7、(t),s (t)的数值计算结果四、相轨线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i (t) ,s (t)的性质。 is平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域(s, i)WD为D = (s, i) I s0, i0 , s + i W1(4)在方程(3)中消去d并注意到。的定义，可得 t(5)s=s0所以：d 二f1 -1dn Ji d =isf 1 -1i(s O丿s. iios0(SO丿ds(6)利用积分特性容易求出方程(5)的解为：i = (s + i )-s二丄In-(7)00 b s0在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线，如图3所示其中箭头表示了随着时间t的 增
8、加s(t)和i(t)的变化趋向.下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(tf*时它们的极限值分别记作 s , i 和 r )。ggg1不论初始条件s0,i0如何，病人消失将消失，即：i二0(8)0其证明如下：ddr首先，由 r 0故s 存在；由(2) 0而r(t) 0则由(1)，对于充分大的t有 卩,这将导致r =g，与r存在相gd2ggt矛盾.从图形上看，不论相轨线从P1或从P2点出发，它终将与s轴相交(t充分大).2.最终未被感染的健康者的比例是s，在式中令i=0得到，s是方程gg.1 ss +1 s + ln g = 0 00g Q s0在(0，1/。
9、)内的根.在图形上s是相轨线与s轴在(0，1/。)内交点的横坐标.g3.若s 1/。，则开始有0d ( 1i(t)先增加，令二1 =0,可得当s=1/d v s。丿。时,i(t)达到最大值:i = s + i - (1 + In o s )m 00 O010)然后 SV1/。时，有 d = 1 o d v s。丿s，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s，如图3中8由 P1( s ， i )出发的轨线.00d ( 14.若s 1/。,则恒有=一 1 1/。(即。1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数。，即提高阈值1/。使 0得s 1/o(即。1/。,从(19),(20)式可以
10、看出，。减小时，s增加(通过作图分析),i降低,08m也控制了蔓延的程度.我们注意到在。=入口中,人们的卫生水平越高，日接触率入越小;医疗 水平越高，日治愈率口越大，于是。越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的 蔓延.从另一方面看，Os = Xs 1/卩是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被os个健康者交换.所以当s 1/O即o s 1时必有既然交换数不超 00过1,病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延。五、群体免疫和预防根据对SIR模型的分析，当s 1/o时传染病不会蔓延所以为制止蔓延，除了提高卫0生和医疗水平，使阈值1/。变大以外，另一个途径
11、是降低s ,这可以通过比如预防接种使群0体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值i有s二1 r，于是传染病不会蔓延的条件s 1 -丄（11）0b这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（ 1 1）式，就 可以制止传染病的蔓延。这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数。=5,由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r，也因很难做到免疫者的均匀分布，0使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的。更高，根除就更加困难。六、模型验证上世纪初在印度孟买发生
12、的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了d的实际数据，Kermack等人用这组数 dt据对SIR模型作了验证。首先，由方程（2），（3）可以得到久=-九si =-bpsi = -bs纶 ddtt上式两边同时乘以d可n -d =-a d s，两边积分得n ln s |s = -b r n 一 = e -brs0s0所以：s (t) = s e-br(t)0二 pi 二 p (1- r 一 s)二卩(1- r 一 s e-br) 0(12)(13)当r 1/b时，取（13）式右端e-brTaylor展开式的前3项得:s b 2r 2p(1-r
13、 s +bs r-o)0 0 2在初始值 r =0 下解高阶常微分方程得:0r(t ) =apt(s b 1)+a th(甲)s Q 1、其中a2二(s Q 1)2 + 2s i Q2, th = -0从而容易由(14)式得出:oo oa(15)然后取定参数s0,。等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用 圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。(16)(17)七、被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s与s之0g差，记作X,即当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得1xx + ln(1)沁 0 Qs0取对数函数Taylor展开的前两项有1xx(1)沁 0(18)s Q 2 s 2Q0 0记s =丄+ 5 , 8可视为该地区人口比例超过阈值丄的部分。当5丄0 cb时（18）式给出（ 1 x 沁 2 s bs -一 u 25（19）0 I 0 b 丿这个结果表明，被传染人数比例约为5 的 2 倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医 疗水平不变，即5不变时，这个比例就不会
