解析几何知识点－金锄头文库

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1、-解析几何1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线l与x轴重合或平行时,规定倾斜角为0.倾斜角的X围0,.2. 直线的斜率：(1)定义：倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k,即ktan(90);倾斜角为90的直线没有斜率.(2)斜率公式：经过两点P1(x1, y1)、yy1xx2P2(x2, y2)的直线的斜率为k12.xx12(3)应用：证明三点共线：kk.ABBC3. 直线的方程：(1)点斜式：直线过点(x ,y) 斜率为k,那么直线方程为yy

2、0k(xx0),它不包括垂直于x轴的直线.00说明:这个方程是由直线上一点和斜率确定的;当直线l的倾斜角为0时,直线方程为yy1;当直线倾斜角为90时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为:xx1.(2)斜截式：直线在y轴上的截距为b和斜率k,那么直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线.说明:b为直线l在y轴上截距;斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到;当k0时,斜截式方程就是一次函数的表示形式.(3)两点式：直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点,那么直线方程为yy2y1y1xx2x1x1，它不包括垂直于坐标轴的直线.说明:这个方程由直线上两点确定

3、;当直线没有斜率(x1x)或斜率为0( y1y2)时,不能用两点式求出2它的方程;但把两点式化为整式形式()()()()x2xyyyyxx,就可以利用它来求出过11211平面内任意两个点的直线的方程:假设x1x,yy,那么有xx10,即xx1;假设212x1x, yy,那么有yy10,即yy1.212xy(4)截距式：直线在x轴和y轴上的截距为a,b,那么直线方程为1,它不包括垂直于坐标轴的直线和ab过原点的直线.说明:该直线方程由直线在x轴和y轴上截距确定,所以叫做直线方程的截距式;截距式的推导可以通过直线的两点式来实现;在利用直线的截距式求解直线方程时要注意截距相等、截距的绝对值相等、截距

4、成多少倍或互为相反数时,不要忘记直线过原点的特殊情况.(5)一般式：任何直线均可写成AxByC0(A,B不同时为0)的形式.4. 设直线方程的一些常用技巧：(1)知直线纵截距b,常设其方程为ykxb .(2)知直线横截距x,常设其方程为xmyx0(它不适用于斜率为0的直线).0(3)知直线过点(x ,y) ,当斜率k存在时,常设其方程为yk(xx0)y0,00当斜率k不存在时,那么其方程为xx.0(4)与直线l:AxByC0平行的直线可表示为AxByC10.(5)与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10 .(6)过两直线l1:A xByC0,l2:A2xB2yC20的交点直线系：

5、111(A1xByCAxByCR(注:该直线系不含l2.)()0()1222提醒：求直线方程的根本思想和方法是恰中选择方程的形式,利用待定系数法求解.-5. 点到直线的距离及两平行直线间的距离：(1)两点1(x,y),P(x, y)P的距离112112|PPxxyy1|()()212122(2)点P(x ,y)到直线AxByC0的距离00dAxByC0022AB.(3)两平行线l1:AxByC10,l2: AxByC20间的距离为dCC1222AB.6. 直线l1: A1xB1yC10与直线l2: A2xB2yC20的位置关系：(1)平行A1B2A2B10(斜率)且B1C2B2C10或A1C2

6、A2C10.(2)相交A1B2A2B10 .(3)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10,A1C2A2C10.提醒：(1)ABC111ABC222、AB11AB22、ABC111ABC222仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？(2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线.(3)直线lAxByC与直线1:1110l2:A2xB2yC20垂直AABB.121207. 到角和夹角公式：(1)l到1l的角是指直线2l绕着交点按逆时针方向转到和直线1l重合所转的角,0,且2tank21k1kk12(k1k21)

7、.(2)l与l2的夹角是指不大于直角的角,(0,12kk21且tan|(k1k21)1kk12提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解.8. 对称(中心对称和轴对称)问题代入法.(1)点关于点对称问题-抓住中点关系.(2)点关于直线对称问题-抓住斜率关系及中点关系.(3)曲线关于点对称问题-利用相关点法求轨迹(转化为点关于点对称问题).(4)曲线关于直线对称问题-利用相关点法求轨迹(转化为点关于直线对称问题).提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.9. 圆的方程：(1)圆的标准方程：222xaybr.(2)圆的一般方程：220(D2E24F0)xyDxEyF,提醒

8、：只有当22DE4F0时,方程DE220xyDxEyF才表示圆心为(,)22,半径为1222DE4F的圆(二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？(AC0,且B0且2240DEAF).(3)Ax ,y,Bx, y为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20.112210. 点与圆的位置关系：点Mx,y及圆00222C：x-aybrr0.-(1)点M在圆C 外222CMrxaybr.00(2)点M在圆C 内222CMrxaybr.00(3)点M在圆C 上CMrxa0222ybr.011. 直线与圆的位置关系：直线l:AxByC0和圆222C：xaybrr0有相交、相离、

10、含.121213. 圆的切线与弦长：(1)切线：过圆x2y2R2上一点P(x,y)圆的切线方程是：002xxyyR,00过圆(xa)(yb)R 上一点P(x0,y0 )圆的切线方程是：2222(xa)(xa)(ya)(ya)R,一般地,如何求圆的切线方程？00(抓住圆心到直线的距离等于半径);从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;过两切点的直线(即“切点弦)方程的求法：先求出以圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与圆的公共弦就是过两切点的直线方程;切线长：过圆220xyDxEyF(222(xa)(yb)R)外一点P(x

11、,y)所引圆的00切线的长为22xyDxEyF(0000222(xa)(yb)R).00(2)弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半2212rd(a);212a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：过两圆C1:f(x,y)0、Cgxy交点的圆(公共弦)系为f(x,y)g(x,y)0,2:(,)01时,方程f(x,y)g(x,y)0表示:两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线.14. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).15. 动点轨迹方程：(1)求轨迹方程的

12、步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的X围;(2)求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)0.待定系数法：所求曲线的类型,求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.-定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.相关点法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x,y) 的变化而变化,并且Q( x0,y0) 又在某曲线上,00那么可先用x,y的代数式表示x0, y0,再将x0,y0代入曲线得要求的轨迹方程.参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量

13、(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.16. 空间直角坐标系(1)定义:以空间中两两互相垂直且交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴,这是就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使xOy135,yOz90.(3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直与x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P,Q和R.设点P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.(4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即

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