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1、毕业论文（设计）开题报告题 目：数学分析中不等式证明方法学生姓名： 民哥哥 指导教师： 职 称： 讲师 院 系： 理学院数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2008级1班 学 号： 2008114264 开题时间： 2012年6月 河北北方学院教务处制目 录摘 要3英文摘要4第1章 不等式的定义及研究背景51.1不等式的定义51.2不等式的研究背景5第2章 数学分析中不等式的证明方法与举例62.1构造变上限积分函数62.2利用拉格朗日中值定理进行证明72.3利用微分中值定理证明积分不等式82.4积分中值定理解不等式92.5利用泰勒公式证明不等式102.6用函数的极值进行证明12 2.7
2、用函数凹凸性进行不等式的证明132.8利用函数单调性解不等式132.9利用条件极值求解不等式142.10利用两边夹法则证明不等式15第3章 不等式证明方法的归纳总结17第4章 论文的结论与展望18 致 谢21参考文献22数学分析中不等式的解法研究摘要：不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的且非常重要的工具，同时也是数学分析中主要研究的问题之一，可以说不等式的研究对数学分析发展起着巨大推动作用。本文章首先介绍了不等式的研究背景，然后主要研究如何求解数学分析中的不等式问题以及探讨总结不等式的不同证明方法，并对不等式的证明方法进行归类，通过“一题多解”如柯西不等式的求解过程, “一法多用”如
3、泰勒公式与牛莱公式的综合运用等例题。巧妙解决不等式的求解问题并最后归纳了不等式的多种解题技巧，为以后不等式的学习做了较为详细的归纳总结，希望能对后来读者的学习起到一定的帮助作用也是本人学习的一些心得。关键词：数学分析；柯西不等式；泰勒公式；牛莱公式Mathematical analysis of the solution of inequality researchAbstract : Inequality is often used and a very important tool in the calculation and prove of mathematical analysis,
4、and at the same time is also a main research problem of mathematical analysis.So it can be said that the study of inequality plays a great role in promoting the development of mathematical analysis. This article first introduces the background of inequality study,then mainly studies how to solve the
5、 problem of inequality in mathematical analysis,summarizes the different methods to prove inequality,and classifies the proof of the inequality methods through the multi-solutions to one problem such as Cauchy inequality solving process,a method of multi use such as the comprehensive application the
6、 Taylor formula and the Newtonian-Leibniz formula and so on. This article skillfully solves the inequality problem and finally summarizes the various techniques for solving inequality, and does a more detailed summary for the subsequent inequality learning.And it is some my learning experiences and
7、I hope it can play a certain help for the readers study. Key words: mathematical analysis; Cauchy inequality; Taylor equation; Newtonian - Leibniz formula第1章 不等式的定义及研究背景1.1不等式的定义定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于
8、号）、不大于号（小于或等于号）“”“”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。1.2不等式的研究背景 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,:Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. Hardy认为,
9、基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。 20世纪70年代以来, 国际上每四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议,并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“T
10、he ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一。 华人数学家在不等式领域做出过重要贡献 ,最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域 , 他们在相关方面做出了独特的贡献 , 引起国内外同行的注意和重视。20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平。祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教
11、授于1981年发表在中国科学上的论文论一个不等式及其若干应用，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为一个杰出的非凡的新的不等式，现在称之为胡克(HK)不等式。 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。如常用不等式（匡继昌）。矩阵论中不等式（王松桂、贾忠贞）。另外 , 国内还有一个不等式研究小组, 主办不等式研究通讯的内部交流刊物。第2章 数学分析中不等式的证明方法与举例2.1构造变上限积分函数变限积分的定义 设在上可积，对于任给,在 和 上均可积，分别称和为变上限的积分和变下限的积分，统称为变限积分。若在上连续，则其变限积分作为关于x的函数，在
12、上处处可导，且更一般的有例1.柯西不等式及柯西不等式的证明 证明:柯西不等式为：。设:显然在上连续，在内可导，且 所以在上单调减少，则，即 得到结论。例2.设f(x)在a,b上连续,且单调递增,试证：，证明：显然 F(a)=0 对任意的 t 有 因为f(x)单调递增,则F(t)0 ,则F(t)单调递增,所以F(b)F(a)=0(ba).因此例3设为上的非负单调非增连续函数（即当时，）分析：可化为 将换成，于是辅助函数 令 (因为单调递减)所以单增，又因为所以 。即故。2.2 利用拉格朗日中值定理进行证明拉格朗日中值定理 设函数f(x)满足:(1)在闭区间 a, b 上连续;(2)在开区间(a,b)内可导.则至少存在一点(a,b),使得 即f(b)-f(a)=f()(b-a)，(ab0,n1)证明:构造函数f(x)=x,在区间b,a上满足拉格朗中值定理,且f(x)=，所以有，即=n(a-b),(b b 0,n1,则有 nbnna.故nb(a-b) n（a-b）= a-b = n(a-b) na(a-b).例2:
