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1、等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注：an=a1+(n-1)d转换过程：Sn=n(a1+an)/2=na1+a1+(n-1)d/2=n2a1+(n-1)d/2=2na1+n(n-1)d/2应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)/2=a1+n*an-(n-1)*an-1/2= an化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立 当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1得 2(n-2)an-1=(n-2)*
2、(an+an-2) 当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列和（首项末项）项数2 项数（末项-首项）公差1 首项=2和项数-末项末项=2和项数-首项末项=首项+（项数-1）公差性质：等差数列求是求数列中所有项的和若 m、n、p、qN若mn=pq，则am+an=ap+aq若m+n=2q，则am+an=2aq推荐精选二、例题例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析 要求的数去除30、60、75都能整除，要求的数是30、60、75的公约数。又要求符合条件的最大的数，就是求30、60、75的最大公约数。解：（30，60，75）=53=15这个数最大是1
3、5。例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？分析 由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。解：3，4，5=345=60，用3、4、5除都能整除的最小的数是60。推荐精选例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析 要截成相等的小段，且无剩余，每段长度必是120、180和300的公约数。又每段要尽可能长，要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.（120，180，300）=302=60每小段最长60厘米。12060+18060+30060=2
4、35=10（段）答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？推荐精选分析 要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。3，10，5=532=30各道工序均应加130个零件。303=10（人）3010=3（人）305=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5 一
5、次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析 由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。推荐精选解：2，3，4=12参加会餐人数应是12的倍数。又122+123+124=6+4+3=13（瓶），可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。又6513=5，参加会餐的总人数应是12的5倍，125=60（人）。答：参加会餐的总人数是60人。例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，31=74+3，
6、根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。这年的10月1日是星期四。例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），）的第1993天是星期几？解：每周有7天，19937=284（周）5（天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.推荐精选面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163=51，即16=53+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果a是整数，b是整数（b0），那么一定有另外两个整数q和r，0rb，使得a=bq+r。当r=0时，我们称a能被b整除。当
7、r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为ab=qr，0rb。例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。解：被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，251=除数商+41，251-41=除数商，210=除数商。210=2357，推荐精选210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数
8、是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？解：被除数=除数商+余数，即被除数=除数40+16。由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，（除数40+16）+除数=877，除数41=877-16，除数=86141，除数=21，被除数=2140+16=856。答：被除数是856，除数是21。例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天，31=74+3，根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。推荐精选这年的10月1日是星期四。例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回
9、数（即3月16日（第二天），15日（第三天），）的第1993天是星期几？解：每周有7天，19937=284（周）5（天），从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。这是一道古算题.它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那
10、么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法1：270+321+215=233233-1052=23符合条件的最小自然数是23。例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法2：3，7+2=2323除以5恰好余3。推荐精选所以，符合条件的最小自然数是23。方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。解：5，6-2=28，即28适合前两个条件。想：28+5，6？之后能满足“7除余1”的条件？28+5，
11、64=148，148=217+1，又148210=5，6，7所以，适合条件的最小的自然数是148。例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。解：想：2+3？之后能满足“5除余3”的条件？2+32=8。再想：8+3，5？之后能满足“7除余4”的条件？8+3，53=53。符合条件的最小的自然数是53。归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。推荐精选解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取
12、5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？解：2+5，71=37（个）37除以3余1，除以5余2，除以7余2，布袋中至少有小球37个。例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余数相同（余数都是1）。但是19-15能被2整除.由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。例9可做如下解答：三个整数被N除余数相同，N（90-69
13、），即N21，N（125-90），即N35，推荐精选N是21和35的公约数。要求N的最大值，N是21和35的最大公约数。21和35的最大公约数是7，N最大是7。习题四1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数. （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 推荐精选
