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1、第六讲 旋转与轨迹本讲3单元的内容分别是:图形旋转,线动成面,面动成体。图形旋转是解决几何题目的有效方法之一,在解决几何题目时,旋转的方法满足以下三个条件:(1)通过旋转将不规则图形转化为规则图形,(2)边相等,(3)角互补或互余。在看到满足这些条件的几何图形时,要能想到“旋转”,这是一种思路,也是一种境界。轨迹:点动成线,线动成面,面动成体。601、【第一单元1】如图所示的四边形的面积等于多少?【难度级别】【解题思路】此题不用旋转也能做,如图一,但是,要学好看到等边、直角,思考如何旋转。如图二(OAB绕O逆时针旋转90度)、图三(OAC绕O顺时针旋转90度)。图三,1212144。【答案】1
2、44。602、【第一单元2】如图所示,ABC中,ABC90,AB3,BC5,以AC为一边向ABC外作正方形,中心为O,求阴影面积。【难度级别】【解题思路】不旋转也能做,53+()16。但是,要学好旋转,OAB绕O逆时针旋转90度,如图。直角OBB为所求(BCB在一条直线上,证明很简单)。一个等腰直角三角形,斜边长度已知,面积是可求的。5+38,8416。【答案】16。603、【第一单元3】如图,已知ABAE4cm,BCDC,BAEBCD90,AC10cm,则_。【难度级别】【解题思路】ABC绕C逆时针旋转90度,ABC绕A顺时针旋转90度,都转到AC的下方,在AC的下方形成正方形,如图。也可以
3、都转到AC的上方形成正方形。面积:1010250。【答案】50。604、【第一单元4】如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内做直角三角形ABE,AEB90,AC、BD交于O,已知AE、BE的长分别是3cm、5cm,求OBE的面积。【难度级别】【解题思路】提供两种解法。解法一、悬空整体空白,旋转=17;ABE好求,但ADE不好求,将ADE绕A点顺时针旋转90度,求变成了求直角梯形AEBE的面积,(3+5)3212。(1712)2.5。解法二、弦图看到了正方形、直角三角形,想到弦图,做出其他三个直角三角形。DBE底BE5,高等于弦图中心正方形的边长,5-32。(52)2.5。【答案】2.5。605
4、、【学案1】下图ABC是等腰三角形,ABAC,BAC120,ADE是正三角形,点D在BC边上,BD:DC2:3。当ABC的面积是50时,ADE的面积是多少?【难度级别】【解题思路】看到等腰,看到120,想到旋转。将ABC、ADE绕A点旋转2次(120、240),连接D、E、D、E、D、E构成正六边形。503150。,但是,正六边形有些点悬空,面积不好求,可以求DDD的面积,这样,。42;4214。此处用到了鸟头模型,23:55。本题中的正六边形是需要证明的:CADBAD,EADEAC+CADEAC+BADBACDAE1206060,所以,EAD是正三角形。【答案】14。606、【补充1】如图,
5、在长方形中,已知2个三角形的面积是2和3,求?处的面积。【难度级别】【解题思路】如图做辅助线。第一步:求出来3(蝴蝶两翼);第二步:求出来4.5(面积比为2:3);第三步:长方形一半:3+4.57.5,?7.525.5。【答案】5.5。607、【第二单元3】直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米,ABC60,此时BC5厘米。以点B为中心,将ABC顺时针旋转120,点A、C到达E、D位置。求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积(取3)。【难度级别】【解题思路】线动成面。将EBD逆时针旋转回来,阴影为2个扇形差。7575。【答案】75平方厘米。608、【第二单元4】如图,ABCD是一个长为4、宽为
6、3、对角线长为5的长方形,它绕C点顺时针方向旋转90,分别求出四边扫过图形的面积。【难度级别】【解题思路】DC:4;BC:2.25;AD:(1)旋转到(2),2.25;AB:(3)旋转到(4),4。发现,对边扫过的面积相等。【答案】AB:4,BC:2.25,CD:4,DA:2.25。609、【学案2】如图ABC是一个等腰直角三角形,直角边的长度是1米。现在以C点为圆心,把ABC顺时针旋转90度,那么,AB边在旋转时所扫过的面积是_平方米。【难度级别】【解题思路】此题,扫过的面积不太好想象。顺时针旋转后,A点沿弧AA转到A点, B点沿弧BB转到B点,D点沿弧DD转到D点。因为CD是C点到AB的最
7、短线段,所以AB扫过的面积就是图中的弧BAA与BDDA之间的阴影图形。11(平方米)。()-0.6775。【答案】0.6775。610、【学案3】三枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上,让一枚同样大小的硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置,那么与原A点重合的点是_,硬币自己转动_,硬币圆心的运动轨迹周长为_。【难度级别】【解题思路】先计算轨迹的长度:三个半径为2的半圆。6;硬币周长:2;623,即为3周。【答案】A点,3周,6厘米。611、【作业3】如图所示的四边形ABCD中,AC45,ABC105,ABCD15厘米,连接对角线BD,ABD30。求四边形ABCD的面积。【难度级别
8、】【解题思路】先将所有角的度数标记出来。发现60和30,75和105。将BCD沿BD剪下,B、D两点翻转再粘上,形成图形如右。面积就很好求了:1515112.5(平方厘米)。【答案】112.5平方厘米。612、【作业5】如图,直角三角形如果以BC边为轴旋转一周,那么所形成的圆锥的体积为16,如果以AC边为轴旋转一周,那么所形成的圆锥的体积为12,如果以AB边为轴旋转一周,那么所形成的几何体的体积是多少?【难度级别】【解题思路】设BCa,ACb,则化简后得,此方程可解,两式相除得:,代入得。根据勾股定理,AB5,AB上的高为:2.4。所求旋转体的体积为:9.6。【答案】9.6。613、【补充2】先做一个边长为2cm的等边三角形,再以三个顶点为圆心,2cm为半径作弧,形成曲线三角形(如左图)。再准备两个这样的图形,把一个固定住(右图中的阴影),另一个围绕它滚动,如右图那样,从顶点相接的状态下开始滚动。请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米?(取3.14)【难度级别】【解题思路】本题难度较大,圆心变换了6次。滚动过程以及最终结果,如下图。滚动经过的面积:3+825.12()【答案】25.12。Liqingzhou2013.11.7