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1、目 录1数论的内容 32实变函数论的特点 43学习实变函数论的方法 54本教材的特色处理之处 5第一章 集合论. 集合概念与运算 6. 集合的势、可数集与不可数集 13 习 题 25第二章 点 集. R空间 26. 几类特殊点和集 30. 有限覆盖定理与隔离性定理 35 . 开集的构造及其体积 38 习 题 45第三章 测度论. Lebesgue外测度定义及其性质 46. 可测集的定义及其性质 48. 可测集的构造 55 习 题 59 第四章 可测函数.可测函数定义及其性质 59. 可测函数的结构 63. 可测函数列的依测度收敛 70习 题 第五章 Lebesgues积分理论. Lebesgu
2、e积分的定义及其基本性质 77. Lebesgue积分的极限定理 84. (L)积分的计算 88. Fubini定理 93习 题 98第六章 积分与微分. 单调函数与有界变差函数 101 . 绝对连续函数 106. 微分与积分 108习 题 112附 录1不可测集 1132.一般集合的抽象测度和抽象积分 1153.单调函数的可微性绪 论1.实变函数论的内容顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说：实函只做一件事，那就是恰当的改造积分定
3、义使得更多的函数可积。何以说明现有的积分范围小了呢？因为 D(x) 这样形式极为简单的函数都不可积， 所以我们认为积分范围狭窄。如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。由数学分析知：对任意分划T：axxx.x=b， 由于任意一个正长度区间内既有有理数又有无理数，所以恒有： S(T,D)s(T,D)10=1如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满足大小和之差任意小的。比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起，那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，
4、更加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即D:EEyfy，其中mfM，myy.y=M时，要(D,f)-s(D,f)=y-ymEyfyy-ymE，只须y-y，这里mEyfy相当于集合Eyfy的长度。思路非常简单，但实现起来并非易事，因为Eyfy可能很不规则，如何求mEyfy呢？这就是一般集合的测度问题(即第三章内容)， 而测度理论所度量的对象是集合，尤其是多元函数定义域所在空间R的子集。因此，必须先介绍集合与点集知识(即第一章、第二章内容)。测度理论本来是为了推广长度、面积、体积概念到一般g的集合，然而在实施过程中却使我们非常遗憾，我们无法对直线上所有集合规定恰当测度使得满
5、足以下两点最基本要求：一、落实到具体区间的测度就是长度(即测度确为长度概念的推广)；二、总体测度等于部分测度之和( 即可列可加性成立)。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度， 这一部分集合便是可测集合(即第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如Eyfy的集合可测呢？这就是可测函数理论问题(即第四章内容)，由于EyfyEfyEfy，所以我们采用对a,有Efa可测，作为函数可测的定义。有了以上准备之后，才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大（小）和(D,f)ymEyfy（s(D,f)=ymEyfy）然后规定(D,f)（s(D,f)）为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第五、六章内容)。
6、以上所述，既是Lebesgue创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方图形均为可测集。结合Riemann积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我们作大、小和更加灵活多样，以达推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推广,使得大量的象Dinichni函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积）了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值（如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既
7、有效地避免了分划、大（小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。2.实变函数论的特点由以上叙述可以看出实变函数论内容单纯，学习起来应该简单，然而实际情况却大相径庭，各届同学都叫困难。原因在何处呢？原因在于高度抽象，理论性强。抽象到什么程度呢？仅据两例说明之：一是“似是而非”。例：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生，任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能：或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中男女生个数至多相差一个。直线上的有理
8、数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数中间有无理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。但严密的逻辑推理告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数比无理数少得多。少到什么程度？有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与实数一样多。二是“似非而是”例：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而实变函数论通过严密论证该结论无可非议。理论性强是由于实变函
9、数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理论上的准备，很少有应用、例题的原因。3.学习实变函数论的方法 针对实变函数论的特点，学习它应有本门课程独特的方法。由于实变函数论高度抽象，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现例、例类似的错误；对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证明，想象其合理的直观意义。只有理解其证明才能借鉴其方法，同时也只有想象其合理的直观意义，才能有开阔的思路，即严密与直观二者不可偏废。本教材几点特色处理在过去
10、“区间体积”概念和“开集构造”理论基础上，引入了开集体积概念，为简化测度定义奠定了基础。用mE=inf |G|开且GE取代mE=inf E不仅使测度概念形式上得到简化、直观化，更重要的是使得诸如m=等一系列命题的证明过程得到大大简化。将大部分教材留到讲ubini定理时才讲的乘积空间的测度，提前到紧接着测度的概念和性质讲，以保证在讲可测函数时能证明可测函数的下方图形可测，从而最终保证直接用非负可测函数下方图形的测度规定其积分值。直接用正、负部函数下方图形的测度之差规定积分值，不仅使得积分概念简单、直观、明了，让学生易于接受。同时也使得诸如并集积分等于各集积分求和、Levi定理等一系列命题的证明过
11、程得到大大简化。在本教材中不依赖iemann积分定义，直接从Lebesgue积分定义出发证明计算积分的重要工具牛顿莱布尼兹公式，为将来实现Lebesgue积分取代iemann积分的大趋势作必要的准备。同时也面对现在学生确实学了iemann积分的事实，研究了iemann积分和广义iemann积分与Lebesgue积分关系。将“不含端点的区间为开区间，包含所有端点的区间为闭区间”一般化为“不含边界点的集合为开集，包含所有边界点的集合为闭集”，从而使概念直观化，学生易于理解其实质，开集与闭集的对偶性等定理证明被简化、思路直观化。既注重知识的传授，又注重数学创新思维方法的挖掘和点拨。在此举仅部分例子说
12、明之。如在引入依测度收敛时，先讲“改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围，二是为了使得操作更方便。对(R)积分而言，积分与极限交换顺序需要一个苛刻的条件：f(x)在E上一致收敛于f(x)。从集合论的角度讲：f(x)在E上一致收敛于f(x)是指0，N0，当nN时，E|f(x)f(x)|，之所以我们认为一致收敛条件苛刻，就在于它要求E|f(x)f(x)|从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必须满足mE|f(x)f(x)|0(n)呢？ 这就导致了依测度收敛这个新概念的产生”。展示了数学创新过程中一些重要的新概念引入之思维方法。又如在引入叶果落夫定理时，通过实例f(x)=x0
13、于，却不一致收敛出发究其原因是自变量越靠近0越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可能一致收敛。但不难看出，只要挖去一个以1为右端点的小区间（1-，1）后就有收敛最慢点x=1-了，从而可以保证一致收敛了。著名的俄国数学家叶果落夫（）发现任何可测函数都有类似结果，这就是著名的叶果落夫定理。展示了数学中一些重要结果的发现来源于常见简单离子的启发，即将特例抽象化、一般化后就会得出重要的带普遍性的结果。再如对Lebesgue积分定义，先在绪论中指出Riemann积分的弊病，分析了产生弊病的原因，提出了解决此弊病的方法，即对Lebesgue改造积分定义的思路概括性作了介绍，当我们在第五章通过几何意义直接定义Lebesgue积分时，唯恐掩盖Lebesgue原始创新思路，及时指出“mG便是f在分划T:EE下的小和s(f,T)，即fdm
