《因式分解的常用方法基本公式法分拆法配方法换元法待定系数法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《因式分解的常用方法基本公式法分拆法配方法换元法待定系数法(37页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、因式分解措施归纳总结第一部分:措施简介初中数学教材中重要简介了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基本上,进一步着重换元法,待定系数法的简介一、提公因式法.:ma+mb=m(a+b)二、运用公式法.(1)(a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b);(2) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2;(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两
2、个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知是的三边,且,则的形状是( )A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形解: 三、分组分解法 例2、分解因式:解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解:原式= 原式= = = = =练习:分解因式1、 2、(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式:分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,因此只能此外
3、分组。 解:原式= = =例4、分解因式: 解:原式= = =练习:分解因式3、 4、综合练习:(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11)(12)四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接运用公式进行分解。特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考:十字相乘有什么基本规律?例.已知05,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的.解析:但凡能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,都规定 0并且是一种完全平方数。于是为完全平方数,例8、分解因式:分析:将当作常数,把原多项式当作有关的
4、二次三项式,运用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解:= =练习8、分解因式(1)(2)(3)(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一种整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式= 解:原式=练习9、分解因式:(1) (2)综合练习10、(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9)(10)思考:分解因式:五、换元法。例13、分解因式(1) (2)解:(1)设=,则原式= = =(2)型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式
5、=设,则原式= =练习13、分解因式(1)(2) (3)例14、分解因式(1)观测:此多项式的特点是有关的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。措施:提中间项的字母和它的次数,保存系数,然后再用换元法。解:原式=设,则原式= = = =(2)解:原式= 设,则 原式= =练习14、(1)(2)六、添项、拆项、配措施。例15、分解因式(1) 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = =(2)解:原式=练习15、分解因式(1) (2)(3) (4)(5) (6)七、待定系数法。例16、分解因式分析:原式的前3项可以分为,则原多项式
6、必然可分为解:设=对比左右两边相似项的系数可得,解得原式=例17、(1)当为什么值时,多项式能分解因式,并分解此多项式。 (2)如果有两个因式为和,求的值。(1)分析:前两项可以分解为,故此多项式分解的形式必为解:设= 则=比较相应的系数可得:,解得:或当时,原多项式可以分解;当时,原式=;当时,原式=(2)分析:是一种三次式,因此它应当提成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如的一次二项式。解:设= 则= 解得,=21练习17、(1)分解因式(2)分解因式(3) 已知:能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式。(4) 为什么值时,能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。第二部分:习题
7、大全典型一:1、观测下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式。典型二:因式分解小结知识总结归纳 因式分解是把一种多项式分解成几种整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其他学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意如下几点。 1. 因式分解的对象是多项式; 2. 因式分解的成果一定是整式乘积的形式; 3. 分解因式,必须进行到每一种因式都不能再分解为止; 4. 公式中的字母可以表达单项式,也可以表达多项式; 5. 成果如有相似因式,应写成幂的形式; 6. 题目中没有指定数的范畴,一般指在有理数范畴内分解; 7. 因式分解的一般环节是: (1)一般采用
8、一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的环节。即一方面看有无公因式可提,另一方面看能否直接运用乘法公式;如前两个环节都不能实行,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可运用公式法继续分解; (2)若上述措施都行不通,可以尝试用配措施、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等措施; 下面我们一起来回忆本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式 分析:这是一种六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别当作一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;也可把,分别当作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解一:原式 解二:原式
9、= 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式 解一:将拆成,则有 解二:将常数拆成,则有 3. 在证明题中的应用 例:求证:多项式的值一定是非负数 分析:现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。 证明: 设,则 4. 因式分解中的转化思想 例:分解因式: 分析:本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观测a+b,b+c与a+2b+c的关系,努力寻找一种代换的措施。 解:设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B 阐明:在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨 例1.在中,三边a,b,c满足 求证:
10、 证明: 阐明:此题是代数、几何的综合题,难度不大,学生应掌握此类题不能丢分。 例2. 已知:_ 解: 阐明:运用等式化繁为易。题型展示 1. 若x为任意整数,求证:的值不不小于100。 解: 阐明:代数证明问题在初二是较为困难的问题。一种多项式的值不不小于100,即规定它们的差不不小于零,把它们的差用因式分解等措施恒等变形成完全平方是一种常用的措施。2.将 解: 阐明:运用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式: 2. 已知:的值。3. 矩形的周长是28cm,两边x,y使,求矩形的面积。 4. 求证:是6的倍数。(其中n为整数) 5. 已知:a、b、c是非零实数,且,求a+b+c的值。 6. 已知:a、b、c为三角形的三边,比较的大小。典型三:因式分解练习题精选一、填空:(30分)4、若=,则m=_,n=_。5、在多项式中,可以用平方差公式分解因式的有_ ,其成果是 _。6、若是完全平方式,则m=_。7、8、已知则9、若是完全平方式M=_。15、方程,的解是_。二、选择题:(10分)1、多项式的公因式是( )A、a、 B、 C、 D、2、若,则m,k的值分别是( )A、m=2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=4,k=12、D m=4,k=12、3、下列名式:中能用平方差公式分解因式的有(