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1、函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1. 偶函数：一般地，对于函数f 3)的定义域内的任意一个X，都有f (-X) = f 3)，那么f 3)就 叫做偶函数.2. 奇函数：一般地，对于函数f (X)的定义域的任意一个X，都有f (-x) = -f (X),那么f (X)就 叫做奇函数.二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：f (-X) = f (X)。f (X)是偶函数；f (-X) = -f (X)。f (X)奇函数；4、等价性:f (-x) = f (X)
2、 = f (-X) - f (X) = 0 = f (I x I) = f (X)；f (-X) = -f (X)。f (-X) + f (X) = 0 ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇 非偶函数。7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对 称。三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数;即：f(x)为奇函
3、数f(x)的图像关于原点对称点(x,y) (-x,-y)偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。即：f(x)为偶函数f(x)的图像关于Y轴对称点(x,y) (-x,y) 奇函数对称区间上的单调性相同(例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。)偶函数对称区间上的单调性相反(例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减)。2. 函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系(1) 若奇函数f(x)在a, b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b,a上是增函数，且有最 小值一M.(2) 若偶函数f(x)在(一8, 0)上是
4、减函数，则f(x)在(0，+8)上是增函数.五、关于函数奇偶性的简单应用1、函数的对称性如果函数f (x)满足f (a+x) =f (ax)或f(x) =f (2ax)，则函数f (x)的图象关于直线 对称.一般的，若f(a+x)=f(bx)，则函数f(x)的对称轴方程是 .两个函数y = f 3 + a)与y = f (b x)的图象关于直线x =竺/对称.2、函数的周期性函数的周期性的定义：设函数y=f(x)，xeD，若存在非零常数T，使得对任意的xeD都有，则函数f(x)为周期函数，T为y=f(x)的一个周期.(1) 周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义
5、域内的任何值时，都 有fx+D=M，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫 做f(x)的最小正周期.(3) 周期函数不一定有最小正周期，若TN0是f(x)的周期，则kT(kEN+也一定是f(x)的周期.若函数f (x)对定义域中任意x满足f (x+a) = f (x)或f (x+a) = 1(a0)，则函数f (x)是-L x周期函数，它的一个周期是 .若f (x) = f (x + a)，则函数y = f (x)的图象关于点(a ,0)对称；六、函数的奇偶性的判断函数奇偶性的因素
6、有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函 数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数奇偶性的方法：(1) 、利用奇、偶函数的定义，主要考查f ( - X)是否与-f 3)、f ( X)相等，判断步骤如下：1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇(偶)函数的可能，到底怎样，取决于数量关系f (-X) = f (X)怎 样成立？若f (-X) = f (X)成立，则为偶函数；若f (-X) = f (X)成立，则为奇函数；若f (-X) = f (X)成立，则为既是奇函数也是偶函数；若常(-X) = f (X)都不成立，则为
7、非奇 非偶函数。2. 讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则.3. 由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数 在其对称区间上的性质.4. 若T是f(x)的一个周期，则kT(kN0, kGZ)也是f(x)的周期.5. (1)若函数f(x)存在两条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数；若函数f(x)具有 奇偶性，又有一条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数.6. 注意函数性质的逆向应用.(2) 、图像法：f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称点(x,y)f(-x,-y)f(x)为偶函数f(x)的图像关于Y轴对称点(x,y)f(-x,y)(3
8、) 、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断 函数奇偶性。(4) 、性质法(5) 、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则(前提条件为两个函数的定义域交 集不为空集)：1) 若f(x)与g(x)都是奇函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，f(x)+g(x)，f(x)g(x)都是奇函数，f(x)g(xUf x 为偶函数.g x2) 若f(x)与g(x)都是偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x) g(x), f :都是偶函数.g x3) 奇函数与偶函数的和(差)既非奇
9、函数也非偶函数；4) 若f(x)与g(x)中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区间上，f(x)g(x), f x都为奇函数. g x3. 若y=f(x)为奇函数，且y=f(x)在*=0处有意义，则f(0)=0.性质1、偶函数没有反函数(偶函数在定义域内非单调函数)，奇函数的反函数仍是奇函数。2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两 个区间上单调性相同。3、对于F(x) =fg(x)：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则Fx是偶函数若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F (x)是奇函数若g(x)奇函数且f(x)是
10、偶函数，则F (x)是偶函数5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称案例分析：考点一、判断函数的奇偶性例1.判断下列函数是否是偶函数.(1) f (x) = x2 x G -1,2(3) f (x) = x + x3 +x5；(5) f (x) = x + 1；(2) f(x)X3 x 2x 1(4) f (x) = x2 +1；(6) f (x) = x2，xET，3；(7) f (x) = 0.变式训练1、判断下列函数的是否具有奇偶性:(1) f (x) = X + X3；(3) h (x) = X3 +1；(5) f (x) = (x + 1) (x - 1)；(7) h (x) =
11、x + 3x ; f (x) = - x2；(4) k (x) =1 , x-1, 2；X 2 + 1(6) g (x) = x (x + 1)； k (x)=X 2 一 12、下面四个结论中，正确命题的个数是()偶函数的图像一定与y轴相交；函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)=0；偶函数的图像关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xER).A.1B. 2C. 3D. 4考点二、分段函数的奇偶性解析：分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义.例1、判断下列函数的奇偶性： f (x) = lg (4 + x) + lg (4 - x)f 1, ,
12、 2 x 2 +1 (x 0) 心=1- X2 - 1 (X 0且4 - X 。=XI -4 X 0时，一X 0，于是g (-X)= - (-X)2 -1 = -( X2 +1) = -g (X)当X 0,于是g (-X)= (-X)2 + 1 = X2 + 1 =-(- X2 -1) =- g (X) 综上可知，在R-UR+上，g(X)是奇函数.X33X2+1 x0例2、判断函数f(x)= “、/n的奇偶性.+3x21 x0或x0时，一x0，贝f( x) = ( x)3 + 3( x)21=x3 + 3x21= (x3 3x2+1) =f(x). 当x0，贝f(x) = (x)3 3(x)2
13、+1 = x3 3x2+1=(x3 + 3x21) = f(x).由知，当xe(8, 0)u(0，+8)时，都有f( x) = f(x)，所以f(x)为奇函数.【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(x )与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满 足相同的关系时，才能判断其奇偶性.也可根据图象判定.1、如果函数f(x) =fx33x2+1 x0x33x2+1x0 时，f(x)=x33x2+1，x0，f (x)= (x)33(x)2+1=x33x2+1=f (x).当 x0，f (x) = (x)33(x)2+1 = x33x2+1=f (x).综上可得f(x)=f(x)f(x)为偶函数.考点二、利用奇偶函数图像的对称性质由偶函数的定义可得：八(一勺 f (-a)电s f (a)偶函数的图像关于y轴对称，反过来，若一个函数的图像关于y轴对称，则这-彳 J个函数是偶函数.”。a 】由奇函数的定义可得：奇函数的图像关于原点对称，反过来，若一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数f (x)的图象如右图，则不等式f (x) 0的例1、设奇函数f (x)的定义域为5,5，若当x g 0,5时，解是例2.如图，给出了奇函数y = f (x)的局总图象，求f (- 4).O4 x例3.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试
