《流体力学 第七章 不可压缩流体动力学基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《流体力学 第七章 不可压缩流体动力学基础（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学 的观点，求得平均量。但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强 等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。本章的内容介绍流体运动的 基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。第一节 流体微团的运动分析运动方式：移动或单纯的位移（平移）旋转线性变形角变形。位移 和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则 是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。在直角坐标系中取微小立方体进行研究。、平移：如果图（a）所示的基体各角点的质点速度向量完全相
2、同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为u、u、u。基体在运动中可能沿直线也 xyz可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不 变）。二、线变形：从图（b）中可以看出，由于沿y轴的速度分量，B点和C点都比A点和D点大了 dy，而工就代表dy = 1时液体基体运动时，在单位时间内0y0y沿 y 轴方向的伸长率。0u0 u0 u，z0x0 y0z三、角变形（角变形速度）dy - dtou* dx - dtoudt角变形：dydxox= da 0 =ouyox四、旋转（旋转角速度）yz-y即，kQQ zuiQ1 _Q_2 QxaxduQ u+ uxQ u+ u 0zy
3、+ u 0yz+ u ozy u oyzxdtxQtxQxQ uQ uQ uayy+ uy+ u 0+ u 0+ u ou o ydtQtyQyxzzxxzzxQ uQ uQ uazz+ uz+ u 0+ u 0+ u ou ozdtQtzQzyxxyyxxyu uxyz那么，代入欧拉加速度表达式，得：各项含义：（1）平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量（3）（4）角变形运动所引起的速度增量（5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量 流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和亥姆霍兹速度分解定理第二节 有旋运动1、无涡流（势流）如在液体运动中，各涡流分量均等于零，
4、即o = o = o = 0，则称这种xyz运动为无涡流。当满足无涡流条件时，Q u Q u=Q y Q z叫=些|，满足柯西条件，就有:Q z Q xQ u Q uy = LQ x Q yQ9u =xQxQ z 一存在。申即流速势。满足此条件的流动（无涡流）就叫势流。（下一章作详细介绍）2、有涡流：如在液体运动中，涡流分量o、o及o中间的任一个或全部不等 xyz于零，则这样的液体运动就叫做旋流或有涡流。自然界中的实际液体几乎都是这种有涡的流动。涡线：流场中一些假想的线，在所讨论的瞬时，涡线上各个质点的涡旋向量都与此线在该点处相切。与流线同样的分析方法，得到涡线方程：dx dy dzroxro
5、z涡量：设流体微团的旋转角速度为亦(x, y, z,t)，则0 = 2亦=0 i + 0 j + 0 k称为xyz涡量，是与空间坐标和时间有关的矢量函数。其中0 、0x和 0 是涡量在 x 、y 、 zz 坐标上的投影。根据旋转角速度的定义，有：x5z哈米尔顿算子是一矢量算子，-5V = i + j +5x5y5 -k ，5z可知,V x u =5 u5 u -f 5 u5 u ）-f 5 u5 u、z -厂i +x -一zj +yxI u5 u-5xy5 z JI 5 z5x J、5 x5y J那么，V .0 = V .（V x u）= 0就自然满足。或者写成，50 +5050+ = 05y
6、即涡量的定义使之自然满足涡量连续性微分方程。例：已知某圆管（半径 r ）中液体流动的流速分布为：二 I 2 (y)试判断该流动是有涡流还是无涡流？并求涡线微分方程。yQuyQxy所以，该流动是有涡流。将上三式代入涡线微分方程，dxdydz，得：dzy dy+ z d z = 0积分后，得到： 涡线是和管轴同轴的同心圆。涡管：在涡量场中任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点所做出的涡线构成一管状的曲面，涡量在n方向上的投影为，则面积积分Q dA=1Q d y d zF Q d zd xF Q d x dy称为涡通量。涡通量：设A为涡量场中一开口曲面，微元面dA的外法线单位向量为有旋运动的一个重
7、要的运动学性质：在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量相等。证明：我们知道，根据涡量的定义，可以很容易知道，涡量自然满足涡量连续性微分方程，即：QQQQQQ=0，对这个微分方程在任意封闭体积上作积分，也是满QxQz足的，若任意体积取为，一段涡管和两个截面A1和A2,就有:303030J +zdV = 0v 3x 3y 3z 可以将体积分化成封闭曲面积分J0A1 + A 2 + A 3dy d zF 0 dx d zF 0ydxdyz=J 0 dydzA1 xF J 0 dydzA 3 x+ 0 dxdz + 0 dxdyyz+ 0 dxdz + 0 dxdyyz=J 0 dA + J 0 d
8、A + J 0 dAA1A 2A 3=J 0 n dA + J 0 nAA1A 2=J 0 dA + J 0 dA = 0A1 nA 2 n+ J 0A2其中dydz + 0 dxdz + 0 dxdyyzJ Q - dA = 0A3所以， J 0 dA = J 0 dAA1 nA 2 n对于微元涡管，近似认为截面上各点的涡量为常数得证性质：涡管不可能在流体内部开始或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环，或者终止于和 开始于边界面。龙卷风开始于地面，终止于云层。速度环量：在流场中任取一封闭曲线s,则流速沿曲线s的积分：j u ds =sJ u dx + u dy + u dzxyzs称为曲线s上
9、的速度环量，并规定积分沿s逆时针方向绕行为s的正方向。（一）斯托克斯定理 根据斯托克斯公式，:U ds = J u dx + u dy + u dzxyz ss=J3u3u-y3zd y d zF3u3u3z3xdxd zF3u3u-y3xdxdy= J 0 dAF 0 dA F 0 dAy y z z= J 0 dA =A性质：沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲线为边界的曲面A的涡通量。斯 托克斯定理。二）汤姆逊定理 汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量力具有单值的势函数，那么沿由流体质点所组成的封闭曲线的速度环量不随时间而变，即：dr = 0解释：速度环量=涡通量，所以，流体的
10、涡旋具有不生、不灭的性质。第三节 不可压缩流体连续性微分方程 1、微分形式的连续性方程在推导这个方程式时,我们认为运动着的液体系连续地充满它所占据的空间,流动时不形 成空隙,并且表征液体运动的各物理量也都是时间和空间的连续函数。在时间 t ,于流场中取一具有边长为 dx 、dy 、dz 的微分六面体,在随后的一无限小段 dt内,流进和流出该微分六面体的质量。流出-流入=质量增量。微分六面体形心A点的坐标为（X、y、z），密度为p，质点的速度分量为U 、U及u ,x y z 则在 dt 时段内沿 x 轴从左侧面 abcd 流入六面的液体质量为dx dpp _2 dx1(dx)2dx dpp +质
11、量的变化：联立，得到：du 1dp dxu -l ( dx)p 一xdx 2_d x 2du 1dp dx:u +l ( dx)p +xdx 2_d x2p dp-dtdxdydz 一 p dxdydz 一d t丿dtpu )d(pu )dydzdtdydzdtdxdydzdtyA流出的液体质量为d(p udxdxdydzdtdtdxdydzdt2 dx生+空 * 竺 * 尘 =0 （一般形式的液体连续性方程）适合可压缩和不 dt dxdyd z可压缩液体。或，写成：d pdt0 u0 u0 uL + 尸+ T = 0 (适合不可压缩液体，恒定流和非恒定流) 0 x0 y0z它是质量守恒定律在
12、水力学中的表现形式。它表征着不可压缩液体在运动时,若保持其 连续性,则线性变形必系伸长现象与缩短现象同时发生。2、积分形式的液体连续性方程连续性方程写成矢量形式：如+v.(pu)= 0其中为微分算子。0t体积积分：fJP 亚+V(p u ) d t = 0v_ 01_根据高斯公式，p(u n )5 = 0v 0 tA对于恒定流，Jf p G - n )La = 0A对于不可压缩，JJ G - n)dA = 0n是液体边界的外法线方向A考虑到速度和面积的方向，就可知：一 u - dA + u - dA = 0，即，1 1 2 2u - dA=u-dA微小流束的流量平衡)积分后，可以得到，v A =v A其中v 、 v2为各自断面上的断面平均流速。例：判断，流速为：= 0 的流动是否满足连续性方程。解：= 0 ，那么0u2 xy0u0xC2 + y-2 xy0u满足0u0u0u0x0z(x2 + y0z=0= 0 ，所以，满足连续性方程。第四节 以应力表示的粘性流体运动微分方程式、粘性流体的内应力表面力， 9 个分量pTTxxxyxzTpTyxyyyzTTpzxzyzzTHX F = maxx
