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1、双曲线的定义及性质【知识点】一、双曲线的定义：平面内与两个定点,的距离的差_ _等于常数（ |）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的_ _,两焦点间的距离叫做双曲线的_ _.注意：当时，若，动点的轨迹_；若时，动点的轨迹_. 当|时，动点的轨迹是_ _；若，动点的轨迹_ _；若时，动点的轨迹_. 若|，则_.二、标准方程与几何性质：标准方程图形a,b,c关系对称性焦点坐标顶点坐标范围实轴（长）虚轴（长）渐近线特征三角形与焦点三角形通径焦半径三、等轴双曲线的定义及性质：1.标准方程：2.渐近线：3.离心率：例1 （1）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹 A椭圆B线段C双曲线D
2、两条射线（2）已知双曲线方程为，若是双曲线上一点，且 则.（3）双曲线1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是A相交 B相离 C相切 D内含（4）若椭圆=1和双曲线 =1有相同焦点、,为两曲线的一个交点，则 （5）是双曲线的左支上一点，、分别为其左右焦点，且焦距为，则 的内切圆的圆心横坐标为 （6）已知为双曲线右支上动点，、分别为其左、右焦点，求的取值范围.变式练习11.已知M(2,0)、N(2,0)，|PM|PN|3，则动点P的轨迹是A双曲线 B双曲线左边一支 C双曲线右边一支 D一条射线2.过双曲线的左焦点作圆的
3、切线，切点为，延长交双曲线右支于点。若为的中点，则3已知双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为，是的中点，为坐标原点，则_.4.已知AB为双曲线左支上过焦点的弦，, 为另一焦点，则的周长为_.5. 设为双曲线上上的一点，为双曲线的两个焦点，若队，则的面积是_ 6.已知双曲线，点、为其焦点，点为双曲线上一点，若,则 的值为 7. 已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线右支上，且，则的面积是_8.已知是双曲线的焦点，过焦点的直线交双曲线左支于两点，则的值为 .9. 已知的顶点、，顶点在双曲线的左支上，则 .10. 已知为双曲线右支上一动点，分别为左、右焦点，过作的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方
4、程。11. 11.已知为双曲线右支上动点，、分别为其左、右焦点，求的取值范围.例2 （1）双曲线=1上有点P，F1、F2是双曲线的焦点，且F1PF2=，则F1PF2的面积是_.（2）已知双曲线的两个焦点是是双曲线上的一点，且满足，则的大小是 .（3）设是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若的面积为 ，则 的值为_.变式练习21为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且,则的面积是_ 2已知和为双曲线的左右焦点, 点在上，则到轴的距离为_.3.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，是它们的一个公共点，则的面积是_4.设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|等于A. B2 C.
5、D2例3 （1） 双曲线的 轴在轴上， 轴在轴上；实轴长等于_，虚轴长等于_，焦距等于 ；顶点坐标是_，焦点坐标是 _；渐近线方程是_；离心率_；若点是双曲线上的点，则的范围是_ _，的范围是_.（2）方程表示双曲线，则的取值范围是 .（3）若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21 (a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 .（4）设为双曲线上一点，、为双曲线上关于原点对称的两点，求证：为常数.变式练习31.双曲线的实轴长_，虚轴长_，离心率_，焦点坐标 ，焦距为 ，顶点坐标_，渐近线方程_.2.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则角所在象限是A、第一象限 B、第二象限
6、 C、第三象限 D、第四象限3. 双曲线的焦距是A.4 B. C.8 D.与有关 4.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上，则A.12 B.2 C.0 D.45. 双曲线的焦点到渐近线的距离为_.6.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 .7.双曲线的一焦点是，则 .8.椭圆与双曲线的焦点相同，则_.9.已知椭圆与双曲线有公共焦点，则渐近线方程为 .10.已知点在双曲线上，则的范围是_11.双曲线上的点到点距离的最小值为_12.已知为双曲线的右支上一点（非顶点），、为其左、右顶点，为其右焦点，若，则_ 例4 （1）已知双曲线的渐近线方程为,分别求满足下列条件的双曲线方程
7、.双曲线过；双曲线焦距为；若双曲线两顶点距离为.(2)焦点在坐标轴上的双曲线，它的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为3，求方程.(3)求两条渐近线方程为且截直线所得弦长为的双曲线方程.变式练习41. 求分别满足下列条件的双曲线方程：（1）双曲线的渐近线方程为并经过点；（2）双曲线的渐近线方程为，焦点在坐标轴上，焦距为10；（3）双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两顶点间距离为6，渐近线方程为；（4）双曲线的渐近线方程为，它的一条切线方程为.2. 经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是 3. 设k,a2b2,则与双曲线=1的离心率不同、渐近线相同的双曲线方程是 (A) =k (B) =k
8、(C) =k (D) =k4. 设C1：=1, C2：=1, C3：=1,a2b2,则 (A)C1和C2有公共焦点 (B) C1和C3有公共焦点 (C)C3和C2有公共渐近线 (D) C1和C3有公共渐近线5. 与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 （A）8 （B）4 （C）2 （D）16.已知为双曲线右支上动点，、分别为其左、右焦点， ，求的取值范围.7. 是否存在同时满足下列两个条件的双曲线，若存在，求出其方程；不存在说明理由.（1）渐近线方程为；（2）点到双曲线上的动点的距离最小值为. 例5 已知两个定点,（1）=8,则点的轨迹方程是 . （2）=6,
9、则点的轨迹方程是 .（3）,则点的轨迹方程是 .例6 （1）两个焦点坐标分别为且经过点的双曲线的标准方程；（2）求与双曲线共焦点且过点的双曲线的方程；（3）求与椭圆共焦点且过(的双曲线方程；（4）焦距为8，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为2的双曲线的标准方程；（5）过点P(2，)且离心率为2的双曲线的标准方程；（6）已知点，在双曲线上，求此双曲线的标准方程例7（1）求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程（2）在中，已知，当动点满足条件时，求点的轨迹方程.（3）已知定点以C为一个焦点作过、的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.（4）ABC的两个顶点A,B的坐标分别是,边、所在直线的斜率之积等于,求
10、顶点C的轨迹方程.变式练习51.（1）双曲线的离心率为，虚轴长为12，则其标准方程为_ _.（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为，则其标准方程为_.（3）与双曲线有共同渐近线，且过点M(2,-2)的双曲线的标准方程为_ .2.（1）已知双曲线的离心率等于，且过点，此双曲线标准方程是_ .（2） 已知一等轴双曲线的焦距为，则它的标准方程为_.（3）中心在原点的等轴双曲线过点，则此双曲线方程为_ _ .（4）实轴在轴上，它的一个焦点在直线上，离心率等于，则此双曲线标准方程是_ .（5） 过点，且渐近线为的双曲线方程是_.3.（1）与双曲线有公共焦点，且过点(，2) 的双曲线方程是_ _.（2）与椭
11、圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程是_ _.（3）与椭圆=1有相同焦点且以y=x为渐近线的双曲线方程是 .4. 方程化简结果是_ .方程化简结果是_.5.双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，,、成等比数列，求双曲线方程.6.已知平面上一定点和一定直线，为该平面上一动点，作，垂足为，且.求点的轨迹方程.7.点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹方程，并说明曲线类型.8.已知动圆M与圆C1：(x4)2y22、圆C2：(x4)2y22均相切，求动圆圆心M的轨迹方程9.已知圆，为圆A上动点设线段的垂直平分线与交于点，（1）当时，求点的轨迹方程；（2）当时，求点的轨迹方程.例8（1）设分别为双曲线（）的两个焦点，若、是正三角形的三个顶点，则双曲
