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1、北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷答案（理工类） 2012.11一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DC BDACA C二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案2或1（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）解：（）在中，因为，所以 2分所以， 5分（）由余弦定理可得， 所以， 7分 又由正弦定理得，所以， 9分因为，所以为锐角,所以， 11分所以， 13分16. （本小题满分14分）解：（）由
2、已知得，. 2分由题意，则当时，.两式相减，得（）. 3分又因为，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式是（）. 5分（）因为，所以， 6分两式相减得， 8分整理得， (). 9分（） 当时，依题意得, , .相加得，. 12分依题意.因为，所以（）.显然当时，符合.所以(). 14分17. （本小题满分13分）解：（）由图可得，所以，所以 2分 当时，可得 ，因为，所以 4分 所以函数的解析式为5分函数的单调递增区间为7分（）因为 8分. 10分因为，所以当，即时，函数有最大值为； 12分当，即时，函数有最小值 13分18. （本小题满分13分）解：（）当时，则因为，所以时
3、，的最大值3分（）当时， ,显然在上有零点, 所以时成立.4分当时，令, 解得 5分（1） 当时, 由，得； 当 时,由，得，所以当 时, 均恰有一个零点在上.7分（2）当，即时，在上必有零点. 8分（3）若在上有两个零点, 则或 12分解得或综上所述，函数在区间上存在极值点，实数的取值范围是或. 13分19. （本小题满分14分）解：函数的定义域为. 1分（）由题意， 2分（1）当时，由得，解得，函数的单调递减区间是；由得，解得，函数的单调递增区间是 4分（2）当时，由于，所以恒成立，函数的在区间上单调递减 5分（）因为对于任意正实数，不等式成立，即恒成立因为，由（）可知当时，函数有最小值7
4、分所以，解得 故所求实数的取值范围是 9分（）因为，. 10分所以（1）显然，当时， 11分（2）当时，因为且，所以，所以12分又， 所以所以，即 综上所述，当时，；当时， 14分20. （本小题满分13分）解：（）方法1：3,1,1,3;：1,1,1,1;：0,0,0,0方法2：1,1,3,5;：1,1,1,3;：1,1,1,1；：0,0,0,04分（）经过次变换后，数列记为，取,则，即经后，前两项相等；取，则，即经后，前3项相等； 设进行变换时，其中，变换后数列变为，则； 那么，进行第次变换时，取，则变换后数列变为，显然有； 经过次变换后，显然有；最后，取，经过变换后，数列各项均为0.所以
5、对任意数列，都存在 “次归零变换” 9分（）不存在“次归零变换”. 10分证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换时，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行后，再进行，由，即等价于一次变换，同理，进行某一步时，；此变换步数也不是最小由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的满足 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“次归零变换” （1）当时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立（由（）可知，存在 “两次归零变换”变换：）（2）假设时成立，即不存在“次归零变换”当时，假设存在“次归零变换”此时，对也显然是“次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知不存在“次归零变换”，则是最少的变换次数，每一次变换一定满足，因为所以，绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾所以，当时不存在“次归零变换” 由（1）（2）命题得证 13分7
