§3.3 一元二次不等式及其解法(一)自主学习 知识梳理1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．(1)若a>0，解集为________________；(2)若a<0，解集为________________．2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集(－∞，x1)∪(x2，＋∞){x|x∈R且x≠－}Rax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集{x|x1< x0；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.总结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．变式训练1 求下列关于x的不等式的解集．(1)－x2＋7x>6；(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.知识点二 解含参数的一元二次不等式例2 解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．总结 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．变式训练2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.知识点三 一元二次不等式与一元二次方程的关系例3 若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．总结 利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．变式训练3 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α0的解集．1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3．由一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0 (a>0))的解集为{x|xx2}(或{x|x10的解集为{x|－20的解集是______________．7．不等式－10的解集．10．解关于x的不等式：ax2－2x＋1>0.§3.3 一元二次不等式及其解法(一)知识梳理1．(1) (2)自主探究解 一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．例如本题，方程x2－ax－b＝0的根就是2和3.∴，∴.对点讲练例1 解 (1)由－2x2－x＋1>0，得2x2＋x－1<0，因式分解得(x＋1)(2x－1)<0，∴－10，∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.即解不等式x2－x－1>0，由求根公式知x1＝，x2＝.∴x2－x－1>0的解集是.∴原不等式的解集为.变式训练1 解 (1)∵－x2＋7x>6，∴－x2＋7x－6>0.∴x2－7x＋6<0，∴(x－1)(x－6)<0.∴10时，x≥或x≤－1；当－20时，解集为；当a＝0时，解集为；当－20变形为(x－a)(x－a2)>0.∵a2－a＝a(a－1)．∴当a<0或a>1时，aa2}．当0a}．当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2}；当0a}；当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．例3 解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，∴，∴b＝－a，c＝－a.所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为.变式训练3 解 ∵α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴α＋β＝－，αβ＝.∵a<0，∴cx2＋bx＋a>0同解变形为x2＋x＋1<0.由根与系数关系将α、β代入，得αβx2－(α＋β)x＋1<0.即αβ<0，由0<α<β，可知>.所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为.课时作业1．B2．C [由已知⇒y＝f(－x)＝ax2＋x－c，即y＝－x2＋x＋2，其图象为C.]3．B4．B5．A [由已知方程有两实数根得：Δ≥0，解得－4≤k≤－，又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，∴当k＝－4时，x＋x有最大值，最大值为18.]6．{x|x<－2或x>3}7．{x|－3≤x<－2或0解析 f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.∴a>0且Δ＝1－4a2<0，∴a>.9．解 ∵x2＋px＋q<0的解集为，∴－，是方程x2＋px＋q＝0的两实数根，由根与系数的关系得，∴，∴不等式qx2＋px＋1>0可化为－x2＋x＋1>0，即x2－x－6<0，∴－20的解集为{x|－20，∴解集为；②当a<0时，Δ＝4－4a>0，此时不等式为x2－x＋<0，由于方程x2－x＋＝0的两根分别为、，且>，∴不等式的解集为；③当a>0时，若00，此时不等式即x2－x＋>0.∵<，∴当00，∴当a＝1时，不等式解集为{x|x∈R且x≠1}；若a>1时，则Δ<0，不等式解集为R.综上所述，当a<0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为；当01时，不等式的解集为R.。
