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1、第5章 信号的抽取与插值5.1前言至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如：1. 一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转
2、换；2. 如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号（Studio work）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz15。3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；5. 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下
3、来。以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理” 已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理” 的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。推荐精选滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解，然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理（如编码）或传输，
4、在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。5.2信号的抽取设，欲使减少M倍，最简单的方法是将中每M个点中抽取一个，依次组成一个新的序列，即n=-+ (5.2.1)现在我们证明，和的DTFT有如下关系： （5.2.2）证明： 由（5.2.1）式，的变换为 （5.2.3）为了导出和之间的关系，我们定义一个中间序列： (5.2.4)注意，的抽样率仍示，而的抽样率是。、及如图5.2.1（a），（b）和（c）所示，抽取的框图如图（d）所示。图中符号 表示作M倍抽取。由该图，
5、显然 ，这样，有即 推荐精选(5.2.5)现在的任务是要找到和之间的关系。令为一脉冲序列，它在M的整数倍处的值为1，其余皆为零，其抽样频率也为。由1.8节的Possion和公式及DFS的理论，又可表示为：, (5.2.6)因为，所以：即： (5.2.7)将该式代入（5.2.5）式，有(5.2.8)令代入此式，即得（5.2.2）式，证毕。（5.2.8）式又常写成如下形式(5.2.9)推荐精选M图5.2.1信号抽取示意图，M=3, 横坐标为抽样点数 原信号，抽取后的信号，（d）抽取的框图（5.2.2）式的含意是，将信号作M倍的抽取后，所得信号的频谱等于原信号的频谱先作M倍的扩展，再在轴上作（）的移
6、位后再迭加。如图5.2.2的（a），（b），（c）,（d）及（e）所示。图5.2.2 信号抽取后频谱的变化, 图中推荐精选由抽样定理，在由抽样变成时，若保证，那么抽样的结果不会发生频谱的混迭。对作M倍抽取得到，若保证由重建出，那么，的一个周期（）也应等于的频谱。这就要求抽样频率必须满足。图5.2.2正是这种情况。图中的频谱限制在内，而又正好作M3的抽取，因此中没有发生频谱的混迭，如图（e）所示。但是，如果的条件不能得到满足，那么中将发生混迭，因此也就无法重建出。如图5.2.3（a）所示，的频谱在的范围内仍有值，因此，即使作M2倍的抽取，也必然发生混迭，如图（b）所示。由于M是可变的，所以很难要
7、求在不同的M下都能保证。为此，防止抽取后在中出现混迭的方法是在对抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图（c）所示。令为一理想低通滤波器，即 (5.2.10)如图（d）所示，令滤波后的输出为，则令对抽取后的序列为，则 （5.2.11）由前面的推导不难得出： (5.2.12a)及推荐精选 (5.2.12b)的频谱如图（e）所示，如图（f）所示。由该图可以看出，加上频带为（）的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭。因此，在对信号抽取时，抽取前的低通滤波一般是不可缺少的。在图5.2.3（f）中使用了变量“”，现对此稍作解释。在一个多抽样率系统中，不同位置处的信号往往工作在不同的抽样频率下，因此，标注该
8、信号频率的变量“” 也就具有不同的含义。例如，在图5.2.1（d）中，若令相对的圆周频率为，相对对的圆周频率为，则和有如下关系： (5.2.13)若要求，则必须有，这正是（5.2.10）式对频带所提要求的原因。同时使用和两个变量固然能指出抽取前后信号频率的内涵，但使用起来非常不方便。故在本书中，除非特别说明，在抽取前后及下一节要讨论的插值前后，信号的圆周频率统一用表示之。只要搞清了抽取和插值前后的频率关系，一般是不会混淆的。推荐精选图5.2.3先滤波再抽取后的频谱的变化，图中M=2（a），（b）没滤波就抽取得到的，（c） 信号抽取框图，（d），（e），（d）滤波后再抽取得到的5.3信号的插值如
9、果希望将的抽样频率增加L倍，即变成，那么，最简单的方法是将每两个点之间补L-1个零。设补零后的信号为，则 (5.3.1)如图5.3.1（a）和（b）所示。图5.3.1信号的插值（a）原信号，（b）插入个零后的，。现在来分析、各自DTFT之间的关系。由于推荐精选即 (5.3.2)同理 (5.3.3)式中，和都是周期的，的周期是，但的周期是。这样，的周期也是。（5.3.2）式的含意是：在的范围内，的带宽被压缩了倍，因此，在内包含了个的压缩样本，如图5.3.2所示。图5.3.2 插值后对频域的影响，（a）插值前的频谱，（b）插值后的频谱由该图可以看出，插值以后，在原来的一个周期（）内，出现了个周期，
10、多余的-1个周期称为的映像，我们应当设法去除这些映像。实际上，图5.3.1用塞进零的方法实现插值是毫无意义的，因为补零不可能增加信息。自然，我们需要用中的点对这些为零的点作出插值。实现插值的方法是用和一低通滤波器作卷积。为此，令推荐精选 (5.3.4)式中为常数，是一定标因子。令通过后的输出为，如图5.3.3所示。图5.3.3插值后的滤波这样，滤波器的作用即是去除了中多余的映像，另一方面，也实现了对中零值点的插值。因为及 所以 这样，若取，则可保证。现在，我们来分析一下图5.3.3中的时域关系。由（5.3.1）式，有即 (5.3.5)5.4抽取与插值相结合的抽样率转换对给定的信号，若希望将抽样
11、率转变为倍，可以按以上两节讨论的方法，先将推荐精选作倍的抽取，再作倍的插值来实现，或是先作倍的插值，再作倍的抽取。一般来说，抽取使的数据点减少，会产生信息的丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图5.4.1（a）所示。图中插值和抽取工作在级联状态。图（a）中滤波器，所处理的信号的抽样率都是，因此可以将它们合起来变成一个滤波器，如图5.4.1（b）所示。令 (5.4.1)则该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭。现在分析一下图5.4.1（b）中各部分信号的关系。由上两节的讨论可知，有 (5.4.2)及 (5.4.3)因为 (5.4.4)推荐精选图5.4.1插值合抽取的级
12、联实现（a）使用两个低通滤波器，（b）使用一个低通滤波器所以 (5.4.5)及 (5.4.6)对比（5.2.11）及（5.3.5）式，可以看出（5.4.6）式中的正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合。因为是因果的滤波器，所以，即，这是（5.4.6）式中的取值制约关系。记 (5.4.7)式中表示求小于或等于的最大整数，这样，（5.4.5）式可写成 (5.4.8)由于 我们可最后得到和之间关系的表达式： (5.4.9)式中表示对模求余。现在我们通过一个实例来分析一下上述抽样率转换的过程。令，推荐精选和都是一个四点的序列，如图5.4.2所示。 图5.4.2 抽样率转换过程实现图5.4.1（b）的倍
13、抽样率转换，一个办法是从依次求出，及。如要求出，按（5.4.4）式，有显然，式中包含很多乘以零的运算，这实际上是不需要的。若按（5.4.5）式，则从而避免了乘以零的不必要的计算。但是，把，都求出来也是没有必要的，因为我们对要作倍的抽取，这样，等要被舍弃，因此，没有必要计算。改由（5.4.9）式，即一步由得到，有推荐精选时， 时， 时 这样，按（5.4.9）式计算时既避免了与插值后为零的点相乘的多余运算，又避免了被舍弃点的多余计算。可见，在多抽样率转换中，不同计算方法的选取会需要不同的计算量。解决这一问题的有效方法是采用信号的“多相（polyphase）结构”。（5.4.9）式即是多相结构的一种表示形式，更多的内容我们将在下一节讨论。最后，我们给出和的频域关系。由上两节的讨论，有
