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1、第5章 信号的抽取与插值5.1前言至今,我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率视为恒定值,即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是,在实际工作中,我们经常会遇到抽样率转换的问题。一方面,要求一个数字系统能工作在“多抽样率(multirate)”状态,以适应不同抽样信号的需要;另一方面,对一个数字信号,要视对其处理的需要及其自身的特征,能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如:1. 一个数字传输系统,即可传输一般的语音信号,也可传输播视频信号,这些信号的频率成份相差甚远,因此,相应的抽样频率也相差甚远。因此,该系统应具有传输多种抽样率信号的能力,并自动地完成抽样率的转
2、换;2. 如在音频世界,就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号(Studio work)所用的抽样频率是48kHz,CD产品用的抽样率是44.1kHz,而数字音频广播用的是32kHz15。3. 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时,则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换;4.对信号(如语音,图象)作谱分析或编码时,可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解,对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取,以实现最大限度减少数据量,也即数据压缩的目的;5. 对一个信号抽样时,若抽样率过高,必然会造成数据的冗余,这时,希望能在该数字信号的基础上将抽样率减下
3、来。以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换,或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来,建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理” 已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理” 的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取(decimatim)”,增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值(interpolation)。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。推荐精选滤波器组,因名思义,它是一组滤波器,它用以实现对信号频率分量的分解,然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理(如编码)或传输,
4、在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。前者称为分析滤波器组,后者称为综合滤波器组。我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法,在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。5.2信号的抽取设,欲使减少M倍,最简单的方法是将中每M个点中抽取一个,依次组成一个新的序列,即n=-+ (5.2.1)现在我们证明,和的DTFT有如下关系: (5.2.2)证明: 由(5.2.1)式,的变换为 (5.2.3)为了导出和之间的关系,我们定义一个中间序列: (5.2.4)注意,的抽样率仍示,而的抽样率是。、及如图5.2.1(a),(b)和(c)所示,抽取的框图如图(d)所示。图中符号 表示作M倍抽取。由该图,
5、显然 ,这样,有即 推荐精选(5.2.5)现在的任务是要找到和之间的关系。令为一脉冲序列,它在M的整数倍处的值为1,其余皆为零,其抽样频率也为。由1.8节的Possion和公式及DFS的理论,又可表示为:, (5.2.6)因为,所以:即: (5.2.7)将该式代入(5.2.5)式,有(5.2.8)令代入此式,即得(5.2.2)式,证毕。(5.2.8)式又常写成如下形式(5.2.9)推荐精选M图5.2.1信号抽取示意图,M=3, 横坐标为抽样点数 原信号,抽取后的信号,(d)抽取的框图(5.2.2)式的含意是,将信号作M倍的抽取后,所得信号的频谱等于原信号的频谱先作M倍的扩展,再在轴上作()的移
6、位后再迭加。如图5.2.2的(a),(b),(c),(d)及(e)所示。图5.2.2 信号抽取后频谱的变化, 图中推荐精选由抽样定理,在由抽样变成时,若保证,那么抽样的结果不会发生频谱的混迭。对作M倍抽取得到,若保证由重建出,那么,的一个周期()也应等于的频谱。这就要求抽样频率必须满足。图5.2.2正是这种情况。图中的频谱限制在内,而又正好作M3的抽取,因此中没有发生频谱的混迭,如图(e)所示。但是,如果的条件不能得到满足,那么中将发生混迭,因此也就无法重建出。如图5.2.3(a)所示,的频谱在的范围内仍有值,因此,即使作M2倍的抽取,也必然发生混迭,如图(b)所示。由于M是可变的,所以很难要
7、求在不同的M下都能保证。为此,防止抽取后在中出现混迭的方法是在对抽取前先作低通滤波,压缩其频带,如图(c)所示。令为一理想低通滤波器,即 (5.2.10)如图(d)所示,令滤波后的输出为,则令对抽取后的序列为,则 (5.2.11)由前面的推导不难得出: (5.2.12a)及推荐精选 (5.2.12b)的频谱如图(e)所示,如图(f)所示。由该图可以看出,加上频带为()的低通滤波器后,可以避免抽取后频谱的混迭。因此,在对信号抽取时,抽取前的低通滤波一般是不可缺少的。在图5.2.3(f)中使用了变量“”,现对此稍作解释。在一个多抽样率系统中,不同位置处的信号往往工作在不同的抽样频率下,因此,标注该
8、信号频率的变量“” 也就具有不同的含义。例如,在图5.2.1(d)中,若令相对的圆周频率为,相对对的圆周频率为,则和有如下关系: (5.2.13)若要求,则必须有,这正是(5.2.10)式对频带所提要求的原因。同时使用和两个变量固然能指出抽取前后信号频率的内涵,但使用起来非常不方便。故在本书中,除非特别说明,在抽取前后及下一节要讨论的插值前后,信号的圆周频率统一用表示之。只要搞清了抽取和插值前后的频率关系,一般是不会混淆的。推荐精选图5.2.3先滤波再抽取后的频谱的变化,图中M=2(a),(b)没滤波就抽取得到的,(c) 信号抽取框图,(d),(e),(d)滤波后再抽取得到的5.3信号的插值如
9、果希望将的抽样频率增加L倍,即变成,那么,最简单的方法是将每两个点之间补L-1个零。设补零后的信号为,则 (5.3.1)如图5.3.1(a)和(b)所示。图5.3.1信号的插值(a)原信号,(b)插入个零后的,。现在来分析、各自DTFT之间的关系。由于推荐精选即 (5.3.2)同理 (5.3.3)式中,和都是周期的,的周期是,但的周期是。这样,的周期也是。(5.3.2)式的含意是:在的范围内,的带宽被压缩了倍,因此,在内包含了个的压缩样本,如图5.3.2所示。图5.3.2 插值后对频域的影响,(a)插值前的频谱,(b)插值后的频谱由该图可以看出,插值以后,在原来的一个周期()内,出现了个周期,
10、多余的-1个周期称为的映像,我们应当设法去除这些映像。实际上,图5.3.1用塞进零的方法实现插值是毫无意义的,因为补零不可能增加信息。自然,我们需要用中的点对这些为零的点作出插值。实现插值的方法是用和一低通滤波器作卷积。为此,令推荐精选 (5.3.4)式中为常数,是一定标因子。令通过后的输出为,如图5.3.3所示。图5.3.3插值后的滤波这样,滤波器的作用即是去除了中多余的映像,另一方面,也实现了对中零值点的插值。因为及 所以 这样,若取,则可保证。现在,我们来分析一下图5.3.3中的时域关系。由(5.3.1)式,有即 (5.3.5)5.4抽取与插值相结合的抽样率转换对给定的信号,若希望将抽样
11、率转变为倍,可以按以上两节讨论的方法,先将推荐精选作倍的抽取,再作倍的插值来实现,或是先作倍的插值,再作倍的抽取。一般来说,抽取使的数据点减少,会产生信息的丢失,因此,合理的方法是先对信号作插值,然后再抽取,如图5.4.1(a)所示。图中插值和抽取工作在级联状态。图(a)中滤波器,所处理的信号的抽样率都是,因此可以将它们合起来变成一个滤波器,如图5.4.1(b)所示。令 (5.4.1)则该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭。现在分析一下图5.4.1(b)中各部分信号的关系。由上两节的讨论可知,有 (5.4.2)及 (5.4.3)因为 (5.4.4)推荐精选图5.4.1插值合抽取的级
12、联实现(a)使用两个低通滤波器,(b)使用一个低通滤波器所以 (5.4.5)及 (5.4.6)对比(5.2.11)及(5.3.5)式,可以看出(5.4.6)式中的正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合。因为是因果的滤波器,所以,即,这是(5.4.6)式中的取值制约关系。记 (5.4.7)式中表示求小于或等于的最大整数,这样,(5.4.5)式可写成 (5.4.8)由于 我们可最后得到和之间关系的表达式: (5.4.9)式中表示对模求余。现在我们通过一个实例来分析一下上述抽样率转换的过程。令,推荐精选和都是一个四点的序列,如图5.4.2所示。 图5.4.2 抽样率转换过程实现图5.4.1(b)的倍
13、抽样率转换,一个办法是从依次求出,及。如要求出,按(5.4.4)式,有显然,式中包含很多乘以零的运算,这实际上是不需要的。若按(5.4.5)式,则从而避免了乘以零的不必要的计算。但是,把,都求出来也是没有必要的,因为我们对要作倍的抽取,这样,等要被舍弃,因此,没有必要计算。改由(5.4.9)式,即一步由得到,有推荐精选时, 时, 时 这样,按(5.4.9)式计算时既避免了与插值后为零的点相乘的多余运算,又避免了被舍弃点的多余计算。可见,在多抽样率转换中,不同计算方法的选取会需要不同的计算量。解决这一问题的有效方法是采用信号的“多相(polyphase)结构”。(5.4.9)式即是多相结构的一种表示形式,更多的内容我们将在下一节讨论。最后,我们给出和的频域关系。由上两节的讨论,有