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1、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题教案【整体设计】教学分析前面已经学习了一元一次不等式 （或组）、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何 意义。作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用，然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型。本节将通过实际例子抽象出二元一次不等式（组）数学模型，引出二元一次不等式 （组）的相关概念。本节的主要内容有： 二元一次不等式（或组）的概念、表示的平面区域及相应的画法。 其中， 重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区 域的确定。在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生
2、探究为 主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助 计算机等媒体工具来进行动态演示本节内容在教学中应体现以下几点：注重探究过程。能正确地画出给定的二元一次不 等式（组）表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题图解法的重要基础。注重探究方 法，结合等式（函数）所表示的图形的认知，用类比的方法提出“二元一次不等式组的解集表 示什么图形”的问题注重探究手段，结合信息计术 教学目标1 、通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等 式组表示平面区域；能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域2、通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想
3、以及作图的能力，渗透集合、化归、数列结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3、通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想。尽管侧重于用“数” 研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能 力重难点教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），灵活运用二元一次不等式（来）表 示平面区域教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax+By+C 0 （或0表示的是直线 Ax十By+C = 0哪一侧的平 面区域？直线Ax+By +C =0将平面内的点分成了哪几类？.学生活动通过代特殊点的方法检验满足不等式x + y-
4、20的点的位置，并猜想出结论：坐标满足不等式x+y2 0的点在直线x + y_2=0的上方.三.建构数学1 .进一步验证结论的正确性：如图，在直线 x+y2=0上方任取一点 P(x,y), 过P作平行于y轴的直线交直线 x+y 2 =0于点A(x,x + 2), 点P在直线上方，点 P在点A上方，1. y -x +2 , SPx + y-20,点P为直线x+y2=0上方的任意一点，所以，直线x十y 2 = 0上方任意点(x, y),都有yx+2,即x + y 20;同理，对于直线 x + y 2 =0左下方任意点(x, y),都有yx + 2,即x + y20的点在直线的上方， 我们称不等式x
5、+y-20表示的是直线 x+y-2=0上方的平面区域；同样， 不等式x +y-2 A0表示的是直线x + y-2 = 0下方的 平面区域.练习：判断不等式2x-y+30表示的是直线2x-y+3 = 0上方还是下方的平面区域？(下方)上半平面y kx by = kx b下半平面y : : kx bx2.得出结论：一般地，直线y =kx+b把平面分成两个区域(如图) y kx +b表示直线上方的平面区域； y kx +b表示直线及直线上方的平面区域； y M kx +b表示直线及直线下方的平面区域.(2)对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.四.数学运用1.例题：例1.判断下列不等式所表示的平面区
6、域在相应直线的哪个区域？(用“上方”或“下方”填空)xx 一(1)不等式y+3表示直线y = +3 的平面区域；22(2)不等式x+2y 3 0表示直线x+2y3 = 0 的平面区域；(3)不等式x-2y0表示直线x-2y=0 的平面区域；(4)不等式x+y 0在平面直角坐标系中表示 Ax十By+C = 0某一侧所 有点组成的平面区域.可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它 的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域； 否则，直线的另一侧为所求的平面区域.例2.回出下列不等式所表示的平面区域：(1) y-2x+1；(2) x_y + 2
7、0.解：(1) (2)两个不等式所表示的平面区域如下图所示:例3.y轴)：解：(1) x0； (2) 6x+5yW22； (3) y x.新问题情境情境：通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义.4x y 10(1)那么，二元一次不等式组x y()的几何意义又如何呢？4x 3y 20(2)根据前面的讨论，不等式(1)表示直线y = 10-4x及其下方的平面区域；不等式(2) 表示直线4x+3y -20 =0及其下方的平面区域.因此，同时满足这两个不等式的点(x, y)的集合就是这两个平面区域的公共部分(如下图所示).图如果再加上约束条件 x 一 0, y 一 0 ,那么，它们的
8、公共区域为图中的阴影部分.例4.画出下列不等式组所表示的平面区域:y 2x 1(1x 2y 4x .0I(2) y 04x 3y -8 :二 0解：（1）不等式yE2x+1表示直线y =2x+1及其下方的平面区域;不等式x 2y .4表示直线x 2y =4上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域.（2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式4x 3y-8 ：:0所表示的平面区域位于第一象限内的部分.思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式 组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解）例5
9、. AABC三个顶点坐标为 A（0,4）, B（2,0）, C（2,0）,求AABC内任一点（x, y）所满足的 条件.解：AABC三边所在的直线方程：AB ： 2x-y+4 = 0； AC ： 2x + y-4 = 0； BC ： y=0.ABC内任意一点都在直线 AB,AC下方，且在直线BC的上方，2x。y 4 0故（x, y）满足的条件为2x + y 4 M0 .y 0例6.原点和点（1,1）在直线x+y-a=0的两侧，则实数 a的取值范围是 .提示：将点（0,0）和（1,1）的坐标代入x + ya的符号相反，即a，（2a）0,0 a 2 .例7. （1）若点（2,t）在直线2x-3y
10、+ 6 = 0下方区域，则实数t的取值范围为 .（2）若点（0,0）在直线3x-2y+a=0的上方区域，则点（1,3）在此直线的下方还是上方区域？2解：（1） .直线2x3y+6 = 0下方的点的坐标满足 y -x+-,22点（0,0）在直线 3x2y+a=0的上方区域，a 0 , a0 .2a a - 3又 3x1 +- _3 = 0 ,点（1,3）在此直线的上万区域.五.回顾小结：1 .二元一次不等式的几何意义；2 .二元一次不等式表示的平面区域的确定.六.课外作业：课本第86页练习第14题.课本第93页 A组第1, 2题，B组第1, 2题3.3.2简单的线性规划问题【整体设计】教学分析本
11、节内容在教材中有着重要的地位与作用。线性规划是利用数学为工具，来研究一定的 人、财、物、时等资源在一定条件下，如何精打细算，用最少的资源，取得最大的经济效益， 它是数学规划中理论较完整，方法较成熟，应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工 程设计、经济管理等许多方面的实际问题。中学所学的线性规划只是规划率中的极小一部分， 但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归，数形结合的数学思想。通 过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数 学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力实际教学中注意以下几个问题：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的
12、已知条件, 找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出 不等式组寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数可行域就是二元一次不等式组所表示 的平面区域。教学目标1、使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本 概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题2、通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合 的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力重点难点教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答课时安排3
13、课时【教学过程】第1课时导入新课（选）由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义。如6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于 24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于 22元。如果想买2枝玫 瑰或3枝康乃馨，那么价格比较结果是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域， 由此引入新课 一.问题情境Zx + y M104x+3yE20 _ _，一1.问题：在约束条件 下，如何求目标函数 P=2x + y的最大值？x . 0y-0二.建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为 可行域，如图（1）所示.其次，将目标函数 P=2x+y变形为y = 2x + P的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y轴上的截距为P5平移直线y=2x + P,当它经过两直线 4x + y =10与4x + 3y =20的交点A（,5）时,4直线在y轴上的截距最大，如图（2）所示.52M一十5 = 7.5,即当甲、乙两种产品分4 5因此，当x= ,y=5时，目标函数取得最大值45别
