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1、专业好文档基于遗传算法的改进的GM(1,1)模型IGM(1,1)直接建模郑照宁，刘德顺(清华大学现代管理研究中心，清华大学技术经济与能源系统分析研究所，北京，100084)摘 要 GM(1,1)模型一般以模型还原值与实际值平均相对误差检验模型的模拟精度.本文以模型还原值与实际值平均相对误差最小化为目标函数将GM(1,1)模型转化成一个不用进行灰微分方程参数辨识的优化模型，我们称之为改进的GM(1,1)模型,简称IGM(1,1)。IGM(1,1)避开了灰微分方程参数辨识时的合理选取背景值的问题，实现GM(1,1)模型的直接建模。由于IGM(1,1)目标函数非连续，不可导，用传统的优化无法求解，本
2、文针对IGM(1,1)模型的特性设计了求解该优化模型的遗传算法并进行了算例验证，求解结果表明了IGM(1,1)模型的模拟精度远高于GM(1,1)模型。关键词 GM(1,1)；改进的GM(1,1)模型IGM(1,1); 背景值；遗传算法Direct Modeling Improved GM (1,1) Model IGM (1,1) by Genetic AlgorithmZHENG Zhao-ning LIU De-shun(Modern Management Research Center of Tsinghua University, Institute of Techno-Economi
3、cs and Energy System Analysis of Tsinghua University, Beijing, 100084, P.R. China)Abstract: Generally GM (1,1) model takes the average relative error between restored value of the model and real value as the criterion to evaluate the simulation precision. In this paper, GM (1,1) model was converted
4、to an optimization model, which doesnt need to identify the parameters of grey differential equation, using the average relative error between restored value of the model and real value as objective function. The model was called Improve GM (1,1) model, IGM (1,1) for short. IGM (1,1) avoids the prob
5、lem how to rationally select background values in parameter identification of grey differential equation and realize the direct modeling of GM (1,1). The object function of IGM(1,1) is unable to be gained by classical optimization approaches due to its discontinuousness and non-differentiability. We
6、 design a genetic algorithm for IGM(1,1) based on its characteristics and test the algorithm with an example. The result acquired shows that the simulation precision of IGM(1,1) model is much higher than that of GM(1,1) mode Key words: GM(1,1), improved GM(1,1) model IGM(1,1), background value, gene
7、tic algorithm1.改进的GM(1,1)模型IGM(1,1)自从80年代中期邓聚龙教授提出GM(1,1)模型以来,由于只需少量数据便可建模,得到了广泛的应用1.GM(1,1)是建立在灰导数和基础上的灰微分模型,其背景值一般由相邻累加数平均生成.由于相邻累加数之间是空的,用均值 (1)来代表灰微分方程背景值全体: (2) GM(1,1)首先进行灰微分方程参数辨识，然后根据初值求解时间响应式，这就存在一个问题：灰微分方程参数辨识时以残差平方和最小为评价准则，而判断GM(1,1)模型拟合好坏以时间响应式的累减还原值与实际值平均相对误差最小为准则，二者不是统一的。从GM(1,1)模型拟合的评
8、价准则来说，在求解GM(1,1)模型时应实现时间响应式的累减还原值与实际值平均相对误差的最小化。GM(1,1)灰微分方程为： (3) 采用最小二乘法辨识出发展参数a和灰作用量b。根据初值得时间响应式： (4)累减还原值为： (5)由于不知相邻累加数之间灰色系统的变化情况,由相邻累加数生成的背景值不见得能很好的代表背景值全体，灰微分方程求解得的时间响应式可能会与实际值有较大的平均相对误差。为了改进背景值的选取方法，许多人做了方面的工作23 4。本文以时间响应式的累减还原值与实际值平均相对误差最小为准则，将GM(1,1)转化为如下优化模型，避开灰微分方程参数辨识从而避开背景值的选取: (6)这里在
9、时间响应式中对初值设置一个小的扰动，以求能得到更好的解。这个模型是GM(1,1)模型的改进，我们称其为改进的GM(1,1)模型，简称IGM(1,1)。由于IGM(1,1)的目标函数非连续，不可导, 难以用传统的非线性优化方法求解。本文根据IGM(1,1)的特性设计了求解该模型的遗传算法。2.遗传算法设计遗传算法是一种模拟生物进化的搜索全局最优解的算法。它通过对在可行解域中生成的一组染色休，采用“适者生存”的战略，进行基因复制、选择、交叉、变异等操作，在整个可行解域中搜索全局最优解。所以与传统的优化算法比较，遗传算法能较好的求解对于多峰、非凸、非连续、不可导及搜索空间不规则的优化问题56。对于式
10、(6)的GM(1,1)优化模型，本文设计了遗传算法，算法中的函数和算子，本文作了以下处理，（1） 染色体的取值范围本文采用浮点向量表示染色体，染色体由三个变量a, b, 组成，在取值范围上|a|0.5，0b0.5x(1)(n)+ 0.5x(0)(n)，|0.2x(0)(1)。许多研究指出GM(1,1)不适于高速发展的数据建模148，邓证明了|a|21。但实践中|a|都是很小的，很难超过0.5，这是因为发展系数反映了原始数据的增长率，从下式可看出1： (7)在|a|0.5时，gm(1,1)已不适于作为预测模型8。由式(3)知b 0，由式(3)|和a|0.5知b0.5x(1)(n)+ 0.5x(0
11、)(n)。|的存在放松了GM(1,1)严格从初值x(0)(1)出发的条件，以求更好的实现目标函数的最小化7，本文控制|的变动范围在x(0)(1)的20%内。（2） 评价函数的选择在选择操作上本文采取轮盘赌战略，对式(3)中的目标函数取倒数并进行线性缩放以确定适应度函数。取初始适应度为： （8）这里pop_size为染色体总数。fi是累减还原值与实际值平均相对误差的倒数，为了增加遗传算法在接近最优解时的寻优能力，对初始适应度fi进行线性缩放得新的适应函数： （9）定义评价函数为： （10）(3)交叉算子的选择采用简单交叉战略，对于选中的染色体X，Y，取r=U(0,1)，生成新的染色体： (11)
12、这里U(0,1)是在0,1区间的均匀分布函数（4） 变异算子的选择对于选中的染色体X，按以下变异算子进行变异： (12)LB为染色体X取值的下边界，UB为其取值的上边界，U(LB,UB)是在LB,UB区间的均匀分布函数。3.实例分析本文采用文献9中第88页中的算例进行分析，按式(3)，(4)建立的模型为： (13)还原值与实际值的平均相对误差为14.311%，具体数据见表1采用遗传算法按式(6)建模，控制参数为：群体规模：pop_size=80;交叉概率：Pc=0.6;变异概率：Pm=0.05;适应度缩放：=500, =0；迭代次数：H=100。进化进程见图1，得到的最优解为：a=-0.234
13、234311609, b=2.110549186787, =-8.121125778064313e-0110最优适应度fopt=5436.1247建立的模型为： (14)还原值与实际值的平均相对误差为9.197728659755312%，比原模型精度提高了55.6%。具体数据见表1。表1.原建模结果与遗传算法建模结果比较表实际值文献9建模结果本文建模结果模型值相对误差%模型值相对误差%2.2802.2802.2800 2.983.72124.8702.980 03.394.52733.5373.76711.1074.425.50729.8854.7607.7076.866.7002.3386.
14、017 12.285 8.648.1505.6687.60511.97411.859.91516.3289.61218.87912.1512.0620.72312.150012.7114.67415.45215.35620.825图1IGM(1,1)遗传算法的进化过程参考文献1 邓聚龙灰色系统理论教程M第一版武汉：华中理工大学出版社，1990；2 宋中民，方小娟可调式灰色GM(1,1)模型J烟台大学学报2000（4）：8285；3 吴强GM(1,1)预测模型的修正J黑龙江商学院学报1995（3）：6164；4 谭冠军GM(1,1)模型的背景值构造方法和应用（I）J系统工程理论与实践2000（4）：98103；5 邢文训，谢金星.现代优化计算方法M第一版北京：清华大学出版社，1999：140181；6 周明，孙树栋遗传算法原理及应用M第一版北京：国防工业出版社 1999：464；7 张辉
