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1、完美格式整理版第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若A B,则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：(一)例题剖析：(1)、已知f (x)的定义域，求f g(x)的定义域思路：设函数f (x)的定义域为D,即x D ,所以f的作用范围为D,又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x) D ,解得x E , E为f g(x)的定义域。例1.设函数f (u)的定义域为(0,1),则函数f (ln x)的定义域为。解析：函数f(u)的定义域为(0, 1)即u (0, 1),所以f的作用范围为
2、(0, 1)又f对lnx作用，作用范围不变，所以 0 1nxi解彳导x (1, e),故函数f (1n x)的定义域为(1, e)例2.若函数f(x),则函数f f(x)的定义域为x 1解析：由f ( x)f (x)R且f(x)，知x 1即f的作用范围为 x R|x x 1x 11 ,即f f (x)中x应满足xf(x) 11 ，又 f 对 f(x)R|x 1 且x作用所以2学习好帮手E ,所以f的作用范围为E,又f对(2)、已知f g(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设f g(x)的定义域为D,即x D ,由此得g(x)x作用，作用范围不变，所以 x E, E为f(x)的定义域。例3.
3、已知f(3 2x)的定义域为x 1, 2，则函数f(x)的定义域为。解析：f (3 2x)的定义域为 1, 2 ,即x 1, 2 ,由此得3 2x 1, 5即函数f(x)的定义域为1, 52例4.已知f(x2 4) 1g x ,则函数f(x)的定义域为 x2 822xx解析：先求f的作用范围，由f(x2 4) 1g ，知三 0 f (x)的定义域为 x 8 x 8(4(3)、已知f g(x)的定义域，求f h(x)的定义域思路：设f g(x)的定义域为D即x D ,由此得g(x) E , f的作用范围为E,又f对h(x) 作用，作用范围不变，所以h(x) E ,解得x F , F为f h(x)
4、的定义域。例5.若函数f(2x)的定义域为1, 1 ,则f (log2 x)的定义域为。一 xx 1解析：f (2 )的定义域为 1, 1 ,即x 1,1,由此得2 , 2f的作用范围为 一，22又f对log 2 x作用，所以log2 x即f (log 2 x)的定义域为 (x2 2x2 3)1 又底数012y2y10即 y2y1 y在(3,)上是减函数.同理可证：y在(，1)上是增函数.例2、讨论函数f(x) 1oga(3x2 2x 1)的单调性.1.解由3x2 2x 1 0得函数的定义域为x|x 1,或x-.3则当a 1时，若x 1 , u 3x2 2x 1为增函数，：f (x) 1oga
5、(3x2 2x 1)为增函数.一 1右 xu 3x2 2x 1 为减函数.：f (x) 1oga(3x2 2x 1)为减函数。1当0 a 1时，右x 1 ,则f(x) log a(3x2 2x 1)为减函数，右x ，则3f(x) 1oga(3x2 2x 1)为增函数.(5)同步练习:1 .函数y= log i (x2 3x + 2)的单调递减区间是()2A. (8, 1)B. (2,十8)C. (8, ) D. (3,十8)答案：B2 22找出下列函数的单调区间.2 _ -2-z z(1) y a x 3x 2(a 1); (2) y 2” x 2x 3.2,)上是减函数。，一 ,3.答案：(
6、1)在(，上是增函数，在2(2)单调增区间是1,1,减区间是1,33、讨论y loga(ax 1),(a 0,且a 0)的单调性。答案：a 1,时(0,)为增函数，1 a 0时，(,0)为增函数。变式练习一、选择题1 .函数f (x) = ，log 1 (x 1)的定义域是()丫 2A. (1,十8)B. (2,十8)C. (8, 2)D. (1,2解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,x 10所以10g1(x 1)0解彳xw 2答案：D22.函数y= 1og1 (x2-3x + 2)的单调递减区间是(, 3 ,、(一,十00)2= x2+ 3x+ 2,函数 t (x)在
7、(一8, 1)2D.A. (-8, 1) B. (2,+8)C. (-8,)2(x)解析：先求函数定义域为(一o, 1) U (2,十8),令上单调递减，在(2,十8)上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y= 10gl (x2-3x+2)在2(2,十8)上单调递减.答案：B3 .若 2 1g (x-2y) = 1g x+ 1g y,则 丫 的值为()A. 4 B. 1 或1 C. 1 或 4D. 14 4错解：由 21g (x- 2y) = lg x+ lg y,得(x 2y) 2 = xy,解得 x= 4y 或 x= y,则有 y =1或且=x 4 y1.答案：选B正解：上述解法忽略
8、了真数大于 0这个条件，即x-2y0,所以x2y.所以x=y舍掉.只有x = 4y.答案：D4.若定义在区间(一1,0)内的函数f (x) = log 2a (x + 1)满足f (x) 0,则a的取值范围为()A. (0, 1)2解析：因为x eB. (0, 1) C. ( 1 ,+00)D. (0,十)220V 2a0时，根据图象只有a 0且a，1(x) =2ax是减函数，要使 y= log a (2 ax)是减函数，则 a 1,又2-ax0 a2(0x1)a0,解得 0Vx 0解彳#x2或0x2或0x22三、解答题23 2x10.设函数 f (x) =+ lg x,3x+ 53+ 2x(1)求函数f (x)的定义域；(2)判断函数f (x)的单调性，并给出证明；(3)已知函数f (x)的反函数 厂1 (x),问函数y = f 1 (x)的图象与x轴有交点吗？若有，求出交点 坐标；若无交点，说明理由.2x0，解得X， 且一/x - .取交集得一(2)令(x) =3x+5,随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；3 2x6=-1+ 随着x
