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1、9 空间曲线曲线的基本概念与公式曲线的方程与正向曲线方程的形式曲线的正向交面式；F(x，y，z) = 0(x, y, z) = 0f X = x(t) X = x( s)参数式 y = y(t)或 y = y(s)z = z (t) z = z (s)(t为任意参数，s为曲线的弧长) 矢量式r = r (t )或r = r (s )(r (t) = x (t) i + y (t)j + z (t)k, t, s 同上)t （或s）增加时，曲线上一点运动的 方向活动标架的三个单位矢量t为单位切线矢量，方向与曲线的正向一致；n为单位主法线矢量，它指向曲线的凹方；b为单位副法线矢量， b=txn.t
2、,n,b构成右手系（图7.18）.这三个矢量称为 曲线在点M的活动标架（或叫动标三面形、伴随三 面形，也叫活动标形）.活动标架所在直线和平面的方程设 M为 （x0,y0,z0）（图 7.18）.1切线过曲线上两点N,M的直线NM,当Nt M时的极限位置.其方程为参数式 = 人= （以 t为参数） xoyoz0式中X。表示d X在点M（x0,y0,z0）处的值，等等.参数t可以取为弧长s,这时用X表示x，等等.00矢量式r=r0+九r （以t为参数） 式中r表示在点M（x0，y0，z0）处的值，九为另一个参数.X 一X0=y -y 0 =z z0FFFFFFEy0z0z0x0x0y0交面式式中F
3、表示竺在M点的值，等等.X0Qx2法面与切线垂直的平面（通过M的法面上一切直线都称为曲线在M的法线）.其方程为参数式 X （x-x0）+ y （y-y0）+ z （z-z0）=0 （以 t 为参数）0 0 0 0 0 0 式中也可取弧长 s 为参数.矢量式（r-r0） -r =0 （以t为参数）y - y z - z交面式0 0FF = 0儿0y0y0z03密切面通过曲线上三点M,P,N作一平面，当N,P T M时，平面的极限位置（切线在密切面上）.其方程为参数式000xyz000xyz000x - x y - y z - z=0 （以t为参数）式中x表示d-x在M点的值，等等，参数t也可取为
4、弧长s.0dt 2矢量式（r-r0） r r ）=0 （以t为参数）0 0 04 主法线 法面与密切面的交线.其方程为参数式 x -x 0-=y -z -z 0-(以t为参数）yzzxxy000000mnnllm式中l=yzzxx y00,m=00x,n=0 0y0z0z00xy0 01（以s为参数）xyz0 0 0x表示d-x在点M的值，等等.0ds 2矢量式r=r0+九r x （r xr ）（以t为参数）0 0 0 0r=r0+九r（以s为参数）式中九为另一个参数.5 副法线 垂直于密切面的直线.其方程为 参数式x-x0 二 y - y 0 二 z-z0 （以 t 为参数） l m n式中
5、 l,m,n 如（1）式定义.矢量式r0=r0+ x （r x r ）（以 t 为参数）0 0 0 06 从切面 通过切线与副法线的平面.其方程为参数式矢量式x 一 xy-yz 一 z000xyz=0000/mnx0(x- x0) + y0(y - y0) + z0(z - z0)二 0以 t 为参数）（以 s 为参数）(r - r )r (r x r )二 0(以 t 为参数)0 0 0 0(r - r ) - r = 0(以 s 为参数)00曲率与挠率的定义与公式公式与意义曲率k = limN T M曲率半径vtd t-MNd s1 P - kk表示包含点M的部分曲线偏 离直线的程度，也是
6、切线方向对于 弧长的转动率k = limN tMVbd bbMNd s挠率半径1T =KK表示包含点M的部分曲线偏离平 面曲线的程度.K =0的曲线是平面曲 线.KI是曲线在点M挠率K的绝对 值，它等于副法线方向对于弧长的 转动率.挠率k的符号：当点M沿曲线的d bNMbMb正向移动时，矢量与n反向,则K取正号，反之取负号（图（b）(a)表中t:b分别表示t,对S的导数.曲率与挠率的计算公式1 曲率参数式I Z 、/ 、/ X.k= ：(X2 + y2 + Z2)(X2 + y2 + Z2)-(XX + 厂 + ZZ)2 (以 t 为参数)(x 2 + y 2 + z 2)3（以s为参数）矢量
7、式ir 2r2 -(rr)2 或 |r x r|以 t 为参数）以 s 为参数）2 挠率的绝对值 参数式挠率矢量式Kl =Kl =式中s为弧长，t为任意参数,x y zx y zx y zk 2( x 2 + y 2 + z 2)3以 t 为参数）fffxyzffJffxyzfffffftffxyzff c,x 2 +y 2+ z 2以 s 为参数）|(rr )k 2 r 23或附6(r x r )2K | =表示对s求导,以 t 为参数）（以 s 为参数） ” 表示对 t 求导.雪列-弗莱纳公式（或基本公式）d tnd n-1b = , = + , d spd s pt式中 t,n,b 为活
8、动标架的三个基本单位矢量， p 为曲率半径， t 为挠率半径.这组公式的特点就 是基本矢量 t,n,b 关于弧长 s 的导数可以用 t,n,b 的线性组合来表达，它的系数组成一个反对称 方阵：这组公式与dr =t合并起来描述了点M在曲线上移动时活动标架的运动规律.ds把活动标架看作一个刚体，就是当M沿曲线移动时，M的活动标架好象刚体那样绕M转 动.这时把s看作时间，则根据运动学的原理可以得出活动标架的瞬时转动速度的表达式为=Kt +Kb这表明转动矢量落在从法面上 .这个瞬时转动矢量称为达布矢量 .它仅分解为两个矢量 Kt 和K b，因此活动标架的瞬时转动可以看作两个转动之和.一个转动对应于K
9、t,按转动速度的定义, 它绕着方向为K t的轴转动；另一个绕着方向为K b的轴转动.因此得到曲率与挠率的运动学意 义：曲线的曲率等于活动标架绕着副法线的转动支量，挠率等于绕着切线的转动支量. 最后，由二Kt +Kb可以验证，空间曲线的雪列-弗莱纳公式就是dtdsdndsdbds= x t= x n= x b这就是雪列-弗莱纳公式的运动学意义.基本定理与自然方程在一闭区间a s 0,则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，它以s为弧长，可k(s)为曲率, K为挠率.方程组k=k(s), K =K (s)称为空间曲线的自然方程.二、 螺旋线的方程与图形一般螺旋线与柱面母线的交角为定角 )的
10、空间曲线称为一般螺旋线(或定倾曲线).这种曲线具有性质：1曲率与挠率的比等于常数(k= k tan a).2切线与一固定方向的交角为定角(a).3 主法线与一固定方向垂直.4副法线与一固定方向的交角为定角(兀-a12丿图 7.19圆柱螺旋线一动点绕一直线作等速转动，并沿这直线作等 速移动，则称这个动点的轨迹为圆柱螺旋线(图7.19),其参数方程 为x = a cos 0 y = a sin 0z = b0 = h 0 = 土a0 cot P 、2兀式中0=t，为角速度，h称为螺距，P称为螺旋角，式中对右螺 旋线取正号，对左螺旋线取负号，如果以弧长s为参数，其方程为sx = a cos , r a2 +b2bs图 7.20z = 曲率与挠率都是常数：k=bk =a 2 + b 2、：a 2 + b 2圆锥螺旋线与一圆锥面母线的交角为定角的曲线称为圆锥螺旋 线(图 7.20)，其方程为sinap = p exp0x=psina cos0 y=psina0sin0 z=pcosa0 0式中a为圆锥顶角的一半，p为螺旋角，p ,a , P都是常数.由于这种曲 0 0 0线投影到Oxy平面上是对数螺线，所以又称其为圆锥对数螺线.
