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1、代几综合点睛提分1、翻折与几何探究【例1】 如图,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP(1)如图,若M为AD边的中点AEM的周长_cm;求证:EPAEDP;(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),PDM的周长是否发生变化?请说明理由图BCEADFCNCPCMC图BCEADFCNCPCMC【解析】 (1)6 BCEADFCNCPCMCGC图证明:如图,取EP中点G,连接MG在梯形AEPD中,M、G分别是AD、EP的中点MG( AEDP ) 由折叠得EMPB,又
2、G为EP的中点MG EP 故EPAEDP(2)PDM的周长保持不变证明:如图,设AMx cm在RtAEM中,由AE 2x 2( 4AE )2,得AE2x 2 DMPAME,AEMAME,DMPAEM又DA,DMPAEM 图BCEADFCNCPCMC,即CDMP ( 4x )8cm 故PDM的周长保持不变【例2】 操作发现如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将ABE沿BE折叠后得到GBE,且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F,认为GFDF,你同意吗?说明理由GBCEFAD(2)问题解决保持(1)中的条件不变,若DC2DF,求的值;(3)类比探究保持(1)中的条件不变,若DCnDF
3、,求的值【解析】 (1)同意连接EF,则EGFD90,EGAEED,EFEFRtEGFRtEDF,GFDF (2)由(1)知GFDF,设DFx,BCy,则有GFx,ADyGBCEFADDC2DF,CFx,DCABBG2xBFBGGF3x在RtBCF中,BC 2CF 2BF 2,即y 2x 2(3x)2yx, (3)由(1)知GFDF,设DFx,BCy,则有GFx,ADyDCnDF,DCABBGnxCF(n1)x,BFBGGF(n1)x在RtBCF中,BC 2CF 2BF 2,即y 2(n1)x2(n1)x2yx,(或)【例3】 如图1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0
4、),A(3,0),C(0,2),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)现将PAB沿PB翻折,得到PDB;再在OC边上选取适当的点E,将POE沿PE翻折,得到PFE,并使直线PD、PF重合(1)设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;(2)如图2,若翻折后点D落在BC边上,求过点P、B、E的抛物线的函数关系式;(3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点M,使PEM是以PE为直角边的直角三角形?若不存在,说明理由;若存在,求出点M的坐标图1CBADFEPOxy图2CBADFEPOxy 【解析】 (1)由已知PB平分APD,PE平分OPF,且PD、PF重合,则BP
5、E90OPEAPB90图1CBADFEPOxy又APBABP90,OPEPBARtPOERtBPA ,即yx(3x)x 2x(0x3)(x)2当x时,y有最大值 (2)由已知,PAB、POE均为等腰三角形,可得P(1,0),E(0,1),B(3,2)设过此三点的抛物线的函数关系式为yax 2bxc则 解得yx 2x1 (3)由(2)知EPB90,即点M与点B重合时满足条件 图2CBADFEPOxy直线PB为yx1,与y轴交于点(0,1)将PB向上平移2个单位则过点E(0,1)该直线为yx1 由 得 M(4,5)故该抛物线上存在两点M(3,2)、(4,5)满足条件【例4】 如图1,点M、N分别是
6、正方形ABCD的边AB、AD的中点,连结CN、DM(1)判断CN、DM的关系,并说明理由;(2)设CN、DM的交点为H,连结BH,如图2,求证:BHAB;(3)将ADM沿DM翻折得到ADM,延长MA 交DC的延长线于点E,如图3,求CE : CB的值DACBNMH图1DACBNMH图2DACBNMH图3EA【解析】 (1)CNDM,CNDM证明:M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点,DNAM又NDCA90,DCAD,DCNADMDCNADM,CNDM ADMMDC90,MDCDCN90DHC90,CNDM DACBNMH图1(2)如图2,延长DM、CB交于点FDACBNMH图2FAM
7、BM,AMDBMF,AMBF90,ADMBFMBFADBC 由(1)知HFC是直角三角形,BHFCBC BHAB (3)过E作EGMD于G,设正方形ABCD的边长为2a,则AMa,MDaEMDAMDEDM,DEMEHDMDMD HDEAMD,DHEA90,HEDADM,DEMDaaCEa2aa CE : CBa : 2a DACBNMH图3EAG【例5】 如图1,在矩形ABCD中,AB6,AD,点P是边BC上的动点(点P不与B、C重合),过点P作直线PQBD,交CD边于Q点,再把PQC沿着动直线PQ对折,点C的对应点是R点设CPx,PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y(1)求CPQ的度数(2
8、)当x取何值时,点R落在矩形ABCD的边AB上?(3)如图2,当点R在矩形ABCD外部时,求y与x的函数关系式,并求此时函数值y的取值范围ABCDQPR图1DAERFBCPQ图2【解析】 (1)如图1,矩形ABCD,ABCD,ADBC又AB6,AD,C90,CD6,BCtanCBD,CBD60PQBD,CPQCBD60(2)如图2,当点R落在矩形ABCD的边AB上时ABCDQPR图2由轴对称的性质可知,RPQCPQRPQCPQ60,RPCPRPB60,RP2BPCPx,RPx,BPx 在RPB中,根据题意得:x2(x)解得:x (3)如图3,当点R在矩形ABCD外部时DAERFBCPQ图3x在
9、RtPFB中,RPB60,PF2BP2(x)又RPCPx,RFRPPF3x在RtERF中,EFRPFB30,ERx4SERF ERRF(x4)(3x)x 212x ySRPQSERF xx(x 212x)x 212x(x)yx 212x(x)2当x时,函数值y随自变量x的增大而增大又当x时,y()2当x时,y函数值y的取值范围是:y2、旋转与几何探究【例1】 如图,已知RtABC中,C90,ACBC2,将一个含30的RtDEF最小内角所在顶点D与RtABC的顶点C重合,当DEF绕点C旋转时,较长的直角边和斜边始终与线段BA交于G、H两点(G、H可以与B、A重合)(1)如图,当BCGACH时,求
10、GH的长;(2)如图,在DEF旋转的过程中,设两三角形重叠部分(图中阴影部分)的面积为S,问:S是否有最大值?若有,求出这个最大值;若没有,请说明理由AGBFECH(D)图AGBFECH(D)图【解析】 (1)BCGACH,BCGACH,BGAH,CGCH又ACB90,ECF30,ACH30如图,过点H作HKAC于K设HKx,A45,AKx又ACH30,CKxAC2,xx2解得:x1 BGAHxACBC2,ABAGBFECH(D)图KGHAB2AH2() (2)如图,过点C作COAB于OAGBFECH(D)图OAB,OCABSGHOCGH 显然,当GH最大时,S有最大值当H与A(或G与B)重合
11、时,GH最大,理由如下:如图,过点C作COAB于O ABC(D)图E1F1E2F2(H2)P1P2OH1G1G2ACO45,G1CO45BCG145G1COC/cosG1CO,ACOC/cos45ACG1C 过G1、H2分别作G1P1DE1、H2P2DF2,垂足分别为P1、P2则G1P1G1C,H2P2AC,H2P2G1P1 G1H1P1BCH1BE1CF1B,而E1CF1B304575G1H1P175又P2G2H2E2CF2BAC304575,G1H1P1P2G2H2G2H2H2P2/sinP2G2H2,G1H1G1P1/sinG1H1P1,G2H2G1H1当H与A(或G与B)重合时,S最大当H与A重合时,过点G