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1、代几综合点睛提分1、翻折与几何探究【例1】 如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP（1）如图，若M为AD边的中点AEM的周长_cm；求证：EPAEDP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由图BCEADFCNCPCMC图BCEADFCNCPCMC【解析】 （1）6 BCEADFCNCPCMCGC图证明：如图，取EP中点G，连接MG在梯形AEPD中，M、G分别是AD、EP的中点MG( AEDP ) 由折叠得EMPB，又
2、G为EP的中点MG EP 故EPAEDP（2）PDM的周长保持不变证明：如图，设AMx cm在RtAEM中，由AE 2x 2( 4AE )2，得AE2x 2 DMPAME，AEMAME，DMPAEM又DA，DMPAEM 图BCEADFCNCPCMC，即CDMP ( 4x )8cm 故PDM的周长保持不变【例2】 操作发现如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，且点G在矩形ABCD内部小明将BG延长交DC于点F，认为GFDF，你同意吗？说明理由GBCEFAD（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC2DF，求的值；（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DCnDF
3、，求的值【解析】 （1）同意连接EF，则EGFD90，EGAEED，EFEFRtEGFRtEDF，GFDF （2）由（1）知GFDF，设DFx，BCy，则有GFx，ADyGBCEFADDC2DF，CFx，DCABBG2xBFBGGF3x在RtBCF中，BC 2CF 2BF 2，即y 2x 2(3x)2yx， （3）由（1）知GFDF，设DFx，BCy，则有GFx，ADyDCnDF，DCABBGnxCF(n1)x，BFBGGF(n1)x在RtBCF中，BC 2CF 2BF 2，即y 2(n1)x2(n1)x2yx，（或）【例3】 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0
4、），A（3，0），C（0，2），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）现将PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC边上选取适当的点E，将POE沿PE翻折，得到PFE，并使直线PD、PF重合（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点M，使PEM是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点M的坐标图1CBADFEPOxy图2CBADFEPOxy 【解析】 （1）由已知PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，则BP
5、E90OPEAPB90图1CBADFEPOxy又APBABP90，OPEPBARtPOERtBPA ，即yx(3x)x 2x（0x3）(x)2当x时，y有最大值 （2）由已知，PAB、POE均为等腰三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（3，2）设过此三点的抛物线的函数关系式为yax 2bxc则 解得yx 2x1 （3）由（2）知EPB90，即点M与点B重合时满足条件 图2CBADFEPOxy直线PB为yx1，与y轴交于点（0，1）将PB向上平移2个单位则过点E（0，1）该直线为yx1 由 得 M（4，5）故该抛物线上存在两点M（3，2）、（4，5）满足条件【例4】 如图1，点M、N分别是
6、正方形ABCD的边AB、AD的中点，连结CN、DM（1）判断CN、DM的关系，并说明理由；（2）设CN、DM的交点为H，连结BH，如图2，求证：BHAB；（3）将ADM沿DM翻折得到ADM，延长MA 交DC的延长线于点E，如图3，求CE : CB的值DACBNMH图1DACBNMH图2DACBNMH图3EA【解析】 （1）CNDM，CNDM证明：M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，DNAM又NDCA90，DCAD，DCNADMDCNADM，CNDM ADMMDC90，MDCDCN90DHC90，CNDM DACBNMH图1（2）如图2，延长DM、CB交于点FDACBNMH图2FAM
7、BM，AMDBMF，AMBF90，ADMBFMBFADBC 由（1）知HFC是直角三角形，BHFCBC BHAB （3）过E作EGMD于G，设正方形ABCD的边长为2a，则AMa，MDaEMDAMDEDM，DEMEHDMDMD HDEAMD，DHEA90，HEDADM，DEMDaaCEa2aa CE : CBa : 2a DACBNMH图3EAG【例5】 如图1，在矩形ABCD中，AB6，AD，点P是边BC上的动点（点P不与B、C重合)，过点P作直线PQBD，交CD边于Q点，再把PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点设CPx，PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y（1）求CPQ的度数（2
8、）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？（3）如图2，当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式，并求此时函数值y的取值范围ABCDQPR图1DAERFBCPQ图2【解析】 （1）如图1，矩形ABCD，ABCD，ADBC又AB6，AD，C90，CD6，BCtanCBD，CBD60PQBD，CPQCBD60（2）如图2，当点R落在矩形ABCD的边AB上时ABCDQPR图2由轴对称的性质可知，RPQCPQRPQCPQ60，RPCPRPB60，RP2BPCPx，RPx，BPx 在RPB中，根据题意得：x2(x)解得：x （3）如图3，当点R在矩形ABCD外部时DAERFBCPQ图3x在
9、RtPFB中，RPB60，PF2BP2(x)又RPCPx，RFRPPF3x在RtERF中，EFRPFB30，ERx4SERF ERRF(x4)(3x)x 212x ySRPQSERF xx(x 212x)x 212x（x）yx 212x(x)2当x时，函数值y随自变量x的增大而增大又当x时，y()2当x时，y函数值y的取值范围是：y2、旋转与几何探究【例1】 如图，已知RtABC中，C90，ACBC2，将一个含30的RtDEF最小内角所在顶点D与RtABC的顶点C重合，当DEF绕点C旋转时，较长的直角边和斜边始终与线段BA交于G、H两点（G、H可以与B、A重合）（1）如图，当BCGACH时，求
10、GH的长；（2）如图，在DEF旋转的过程中，设两三角形重叠部分（图中阴影部分）的面积为S，问：S是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由AGBFECH(D)图AGBFECH(D)图【解析】 （1）BCGACH，BCGACH，BGAH，CGCH又ACB90，ECF30，ACH30如图，过点H作HKAC于K设HKx，A45，AKx又ACH30，CKxAC2，xx2解得：x1 BGAHxACBC2，ABAGBFECH(D)图KGHAB2AH2() （2）如图，过点C作COAB于OAGBFECH(D)图OAB，OCABSGHOCGH 显然，当GH最大时，S有最大值当H与A（或G与B）重合
11、时，GH最大，理由如下：如图，过点C作COAB于O ABC(D)图E1F1E2F2(H2)P1P2OH1G1G2ACO45，G1CO45BCG145G1COC/cosG1CO，ACOC/cos45ACG1C 过G1、H2分别作G1P1DE1、H2P2DF2，垂足分别为P1、P2则G1P1G1C，H2P2AC，H2P2G1P1 G1H1P1BCH1BE1CF1B，而E1CF1B304575G1H1P175又P2G2H2E2CF2BAC304575，G1H1P1P2G2H2G2H2H2P2/sinP2G2H2，G1H1G1P1/sinG1H1P1，G2H2G1H1当H与A（或G与B）重合时，S最大当H与A重合时，过点G
