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1、课时素养评价 十二正 弦 定 理(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019合肥高一检测)ABC内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A=,a=3,b=2,则sin B=()A.B.C.D.【解析】选D.因为A=,a=3,b=2,所以根据正弦定理可得sin B=.2.在ABC中,已知BC=,sin C=2sin A,则AB=()A.B.2C.D.2【解析】选D.由正弦定理,得AB=BC=2BC=2.3.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若tan Atan B=ab,则ABC的形状一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解
2、析】选A.因为tan Atan B=ab,所以btan A=atan B,所以=,因为0A,0Ba知BA.所以B=60或120.(1)当B=60时,C=180-A-B=180-30-60=90.在RtABC中,C=90,a=2,b=6,c=4,所以ac=24=24.(2)当B=120时,C=180-A-B=180-30-120=30,所以A=C,则有a=c=2.所以ac=22=12.8.(14分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A.(2)若a=,b=2,求sin C.【解析】(1)因为mn,所以asin B-bco
3、s A=0.由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又因为sin B0,从而tan A=.由于0Ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=.(15分钟30分)1.(4分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果c=a,B=30,那么角C等于()A.120B.105C.90D.75【解析】选A.因为c=a,所以sin C=sin A=sin(180-30-C)=sin(30+C)=,即sin C=-cos C.所以tan C=-.又0C180,所以C=120.2.(4分)(2019通化
4、高一检测)在ABC中,已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C,且满足ab=4,则该三角形的面积为()A.1B.2C.D.【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C,根据正弦定理得a2+b2-ab=c2,由余弦定理得2abcos C=ab,所以cos C=,所以sin C=,所以S=absin C=4=.3.(4分)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足acos B-bcos A=c,则ABC的形状为_.【解析】根据正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,C=2Rsin C(其中R是ABC外接圆的半径),代入acos
5、B-bcos A=c得2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C,所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B),所以sin Acos B-sin Bcos A=sin Acos B+sin Bcos A,所以2sin Bcos A=0,又因为sin B0,所以cos A=0,又A(0,),所以A=,所以该三角形为直角三角形.答案:直角三角形【加练固】在ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则ABC的形状为_.【解析】由正弦定理知b=2Rsin B,a=2Rsin A,则3b=2asin B可化为:3sin B=2sin Asin
6、 B.因为0B180,所以sin B0,所以sin A=,所以A=60或120,又cos A=cos C,所以A=C,所以A=60,所以ABC为等边三角形.答案:等边三角形4.(4分)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,1+2cos(B+C)=0,则边BC上的高为_.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=-A,得1-2cos A=0,所以cos A=,sin A=.再由正弦定理,得sin B=.由ba知BA,所以B不是最大角,B,从而cos B=.由上述结果知sin C=sin(A+B)=.设边BC上的高为h,则有h=bsin C=.答案:5.(14分)在
7、ABC中,求证:(1)=.(2)=.【证明】(1)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,于是=1-2cos A=1-2cos A=.(2)方法一:=.方法二:=.【加练固】在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,确定ABC的形状.【解析】由正弦定理得=,由2cos Asin B=sin C,有cos A=.又由余弦定理得cos A=,所以=,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,即b2=c2.所以b=c,所以a=b=
8、c.所以ABC为等边三角形.1.在锐角三角形ABC中,a,b,c所对的角分别为A,B,C,A=2B,则的取值范围是_.【解析】在锐角三角形ABC中,A,B,C90,即所以30B45.由正弦定理知:=2cos B(,),故的取值范围是(,).答案:(,)2.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,+=.(1)求角A的大小.(2)若a=2,ABC的面积为,求边b,c.【解析】(1)由+=及正弦定理得+=,整理得,sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A,即 sin(A+B)=2sin Ccos A.因为sin(A+B)=sin(-C)=sin C,且sin C0,所以,cos A=.又0A,所以,A=.(2)因为ABC的面积S=bcsin A=bcsin=,所以,bc=4.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,22=b2+c2-2bccos所以,b2+c2 =8,联立解得,b=c=2.- 1 -