《【三维设计】2013届高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)第三章正弦定理和余弦定理教学案(含解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【三维设计】2013届高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)第三章正弦定理和余弦定理教学案(含解（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节正弦定理和余弦定理基础知旭要打牢1 I C H U Z H D S H I Y A强双基固本追得垦础分零提程度#知识能否忆起1.正弦定理分类内容定理abc一,一一,，-一-=-5=- 2R(R是 ABC7卜接圆白半径) sin A sin B sin C变形公式a=2FSin_ A, b= 2Rsin_ B, c=2Rsin_ C,sin A： sinB - sin C= a ： b ： c, sin A= 2aR, sin B= 2R, sin C= 2R解决的问题已知两角和任一边，求其他两边和另一角，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2.余弦定理分类内容定理在 ABO43,有
2、a2= b2+c22bccos A； b2= a2+c22accos B； c2= a2+b22abcos C变形公式b+caa+c bcos A=；cos B=c；2bc2aca a2+b2c2 cos C-.2ab解决的问题已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3.三角形中常用的面积公式1S= 2ah（h表示边a上的高）；111(2) S= 2bcsin A= 2acsin BJ= 2absin C;_ 1(3) S= 2r(a+b+c)( r为二角形的内切圆半径).小题能否全取1. (2012 广东高考)在ABC43,若/A= 60 , ZB= 45 , BC= 3
3、 5，则 AC=()A. 4 3B. 2 3C. 3D.f解析：选B由正弦定理得:BC ACsinA sin B即3；2sin 60AC3 22.女。，所以 AC=+xWsin 45至2T=2 32.在 ABC43, a=V3, b=1,c=2,则A等于（A.30B. 45C.60D. 75解析：选C cos A=b2 + c2 a2 1+43 12bc2X1X2 2又.一。 A180 ,A= 60 .3.（教材习题改编）在ABC4若a=18, b=24,A= 45 ,则此三角形有（A.无解B.两解C. 一解D.解的个数不确定解析:sin A sin BsinbB= -sina24A= -si
4、n 4518sinb_2_B 3 .又aB? ab? sin Asin B.闻.IBHl看点要通关抓考点 学技法 得点高分掌握程度(2)在ABC,已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形4 Z AA H小.九zi4 yil关系式a= bsinAbsin Aa bab解的个数一解两解一解一解利用正弦、余弦定理解三角形1典题导入例1 (2012 浙江高考)在ABC,内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且bsin A=.3acos B.(1)求角B的大小；(2)若 b=3, sin C= 2sin A,求 a, c 的值.自主解答(1)由bsin A= 43acos B及
5、正弦定理ab 2rrs=茄力，彳sin B= 3cos B，所以tan B=小,所以B= f.3a c 一(2)由 sin C= 2sin A及一.-=-,4# c= 2a.sin A sin C由 b = 3 及余弦定理 b2 = a2 + c2 2accos B得 9 = a2+ c2- ac.所以 a=$, c=23.一题多变在本例(2)的条件下，试求角 A的大小.5ab斛：sin A= sin B姆 sin -ysinasinB 131A=-b322由题悟法1 .应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用 余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.2 .已
6、知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该 三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.3以题试法1. ABC勺三个内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, asin Asin B+ bcos2A=。2a.(1)求羡；(2)若 c2=b2+*a2,求 B解：(1)由正弦定理得，sin 2Asin B+ sin Bcos 2A=2sin A,即sin B(sin 2A+ cos2A)=/sin A故 sin B=，2sin A,所以，=也.(2)由余弦定理和c2= b2+ 3a2,得 cos B=1 +m a2c由(1)知 b2
7、=2a2,故 c2= (2 +。3) a2.可得 cos2B= 2,又 cos B0,故 cos B=乎，所以 B= 45 . |利用正弦、余弦定理判定三角形的形状立典题导入例2在4ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA= (2b+c)sinB+ (2 c+ b)sin C(1)求A的大小；(2)若sin B+ sin C= 1,试判断 ABC勺形状.自主解答(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c) b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+ bc.由余弦定理得 a2=b2+ c2-2bccos A,1故 cos A= 2,0A180 ,A= 120 .(2)由得
8、sin 2A= sin 2B+ sin 2C+ sin Bsin C=-.4又 sin B+ sin C= 1, /口1解得 sin B= sin C= 2.,-0 B60 , 0 C60 ,故 B= C, AB等腰的钝角三角形.2由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等 变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A+ B+ C=兀这个结论.注意在上述两种方法
9、的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.3以题试法2. (2012 安徽名校模拟)已知ABC勺三个内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,向 目2AL7重 m= (4 , - 1) , n= cos 2, cos 2 A i,且 m- n = .(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a= 20,试判断 ABC勺形状.解：(1)mF (4, 1),n= lcos22, cos 2 A j,mi- n = 4cos 2A cos 2 A= 41 + cos A22 A.2 (2cos A 1) = 2cos A+ 2cos A+ 3.c 272cos A+ 2
10、cos A+ 3=2,1解得cos A= 2(2)在ABC中，a2=b2+c22bccos A,且 a =斓，r 111。 (4)=b + c - 2bc 2= b + c - bc.又= b+ c=2涓,b= 243 c,代入式整理得 c22，3c+3 = 0,解得 c=，3,，b=，3,于是 a= b =c=3,即 ABS等边三角形.1*11与三角形面积有美的问题1典题导入例3 (2012 新课标全国卷)已知a, b, c分别为ABCE个内角 A B, C的对边， acos C+ 3asin C b c = 0.(1)求 A；(2)若a=2, ABC勺面积为&求b, c.自主解答(1)由a
11、cosC+q3asinC-bc= 0 及正弦定理得sinAcosC十 寸3sinAsin C sin B sin C= 0.因为B=兀-A- C,所以 3sin Asin C cos Asin C sin C= 0.由于 sin Cw 0,所以 sin A- 6 = 2.一兀又0 v Av兀,故A=.31 一，,.(2) ABC勺面积 S= bcsin A=，3,故 bc= 4.而 a2= b2 + c22bccos A,故 b2 + c2= 8.解得b= c= 2.出由题悟法1 .正弦定理和余弦定理并不是孤立的.解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要 交替使用.，、 111一,2 .在解决
12、二角形问题中，面积公式S= 2absin C= 2bcsin A= -acsin B取常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用.3以题试法1.2.3. (2012 江西重点中学联考 )在 ABC43, 2cos 2 A= cos A cos A(1)求角A的大小；(2)若 a=3, sin B= 2sin C,求 Sa abc解：(1)由已知得 2(2cos 2A-1) =cos2A cos A,贝U cos A=.因为0A兀,所以A=.23(2)由_b sincB= sin C可得sinsinBC=即 b = 2c.所以b2+c2a2 cos = b=4c2+c2 9 _4c2解得 c=小,b= 2-y3,1S ab 2bcsinA= 2x273x73x3=呼.所以艇即调练要高效JI ETI XUNLAN Y AOG AO?抓规范拒绝眼高手低掌握制度A级全员必做题1 .在 ABC,a、b分别是角A、B所
