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1、第3讲平面向量高考定位1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算,多以熟知的平面图形为背景,难度中低档;2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积,多考查角、模等问题,难度中低档;3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合,以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2017全国卷)设非零向量a,b满足|ab|ab|,则()A.ab B.|a|b|C.ab D.|a|b|解析由|ab|ab|两边平方,得a22abb2a22abb2,即ab0,故ab.答案A2.(2017全国卷)已知向量a(1,2),b(m,1).若向量ab与a垂直,则m_.解析由题意得ab(m1,3),因为
2、ab与a垂直,所以(ab)a0,所以(m1)230,解得m7.答案73.(2017天津卷)在ABC中,A60,AB3,AC2,若2, (R),且4,则的值为_.解析32cos 603,则()223322254,解得.答案4.(2017江苏卷)已知向量a(cos x,sin x),b(3,),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)ab,3sin xcos x,3sin xcos x0,即sin0.0x,x,x,x.(2)f(x)ab3cos xsin x2sin.x0,x,sin1,2f(x)3,当x,即x0时,f(x)取得最大
3、值3;当x,即x时,f(x)取得最小值2.考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数,使ba.(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2,其中e1,e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1,y1),b(x2,y2),则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若a(x,y),则|a|.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|A|.(3)若a(x1,y
4、1),b(x2,y2),为a与b的夹角,则cos .4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件:O为平面上一点,则A,B,P三点共线的充要条件是12 (其中121).(2)三角形中线向量公式:若P为OAB的边AB的中点,则向量与向量,的关系是().(3)三角形重心坐标的求法:G为ABC的重心0G.热点一平面向量的有关运算【例1】 (1)(2016全国卷)设向量a(m,1),b(1,2),且|ab|2|a|2|b|2,则m_.(2)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,ADAB, BEBC.若12 (1,2为实数),则12的值为_.解析(1)由|ab|2|a|2|b|2,得ab,所以ab
5、m1120,得m2.(2)(), 12,1,2,因此12.答案(1)2(2)探究提高对于平面向量的线性运算,首先要选择一组基底,同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.【训练1】 (2017衡阳二模)如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若,则()A.2 B. C. D.解析法一如图以AB,AD为坐标轴建立平面直角坐标系,设正方形边长为1,(1,1).,解之得故.法二以,作为基底,M,N分别为BC,CD的中点,因此,又,因此解得且.所以.答案D热点二平面向量的数量积命题角度1平面向量数量积的运算【例21】 (1)(2017浙江卷)如
6、图,已知平面四边形ABCD,ABBC,ABBCAD2,CD3,AC与BD交于点O,记I1,I2,I3,则()A.I1I2I3 B.I1I3I2C.I3I1I2 D.I2I1I3(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_.解析(1)如图所示,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易得AOAF,而AFB90,AOB与COD为钝角,AOD与BOC为锐角,根据题意,I1I2()|cosAOB0,I1I3,作AGBD于G,又ABAD,OBBGGDOD,而OAAFFCOC,|,而cosAOBcosCOD,即I1I3.I3I1I2.(2)法一如图,以AB,
7、AD为坐标轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则(t,1),(0,1),所以(t,1)(0,1)1.因为(1,0),所以(t,1)(1,0)t1,故的最大值为1.法二如图,无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB1,所以|11,当E运动到B点时,在方向上的投影最大,即为DC1,所以()max|11.答案(1)C(2)11探究提高1.求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.2.进行向量的数量积的运算,首先要有“基底”意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次注意向量夹角的大小,以
8、及夹角0,90,180三种特殊情形.命题角度2平面向量数量积的性质【例22】 (1)(2016山东卷)已知非零向量m,n满足4|m|3|n|,cosm,n.若n(tmn),则实数t的值为()A.4 B.4 C. D.(2)(2017哈尔滨模拟)平面向量a,b满足|a|4,|b|2,ab在a上的投影为5,则|a2b|的模为()A.2 B.4 C.8 D.16解析(1)n(tmn),n(tmn)0,即tmnn20,t|m|n|cosm,n|n|20,由已知得t|n|2|n|20,解得t4.(2)|ab|cosab,a|ab|5;ab4.又(a2b)2a24ab4b216161616.|a2b|4.
9、答案(1)B(2)B探究提高1.求两向量的夹角:cos ,要注意0,.2.两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:abab0|ab|ab|.3.求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x,y),则|a|.【训练2】 (1)(2015福建卷)已知,|,|t,若点P是ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21(2)(2017郴州二模)已知a,b均为单位向量,且(2ab)(a2b),则向量a,b的夹角为_.解析(1)建立如图所示坐标系,则B,C(0,t),(0,t),则t(0,t)(1
10、,4).点P(1,4),则(1,t4)1717213,当且仅当4t,即t时取等号,故的最大值为13.(2)设单位向量a,b的夹角为,则|a|b|1,abcos .(2ab)(a2b),2|a|22|b|23ab3cos ,cos ,0,.答案(1)A(2)热点三平面向量与三角的交汇综合【例3】 (2017郑州质检)已知向量m(2sin x,cos2xsin2x),n(cos x,1),其中0,xR.若函数f(x)mn的最小正周期为.(1)求的值;(2)在ABC中,若f(B)2,BC,sin Bsin A,求的值.解(1)f(x)mn2sin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos
11、2x2sin.f(x)的最小正周期为,T.0,1.(2)设ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c.f(B)2,2sin2,即sin1,解得B(B(0,).BC,a,sin Bsin A,ba,b3.由正弦定理,有,解得sin A.0A,A.C,ca.cacos Bcos .探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”,即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”;然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”;再活用正、余弦定理,对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识
12、将条件“脱去向量外衣”,转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练3】 (2017山东卷)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b3,6,SABC3,求A和a.解因为6,所以bccos A6,又因为SABC3,所以bcsin A6,因此tan A1,又0A,所以A.又因为b3,所以c2.由余弦定理a2b2c22bccos A,得a29823229,所以a.1.平面向量的数量积的运算有两种形式:(1)依据模和夹角计算,要注意确定这两个向量的夹角,如夹角不易求或者不可求,可通过选择易求夹角和模的基底进行转化;(2)利用坐标来计算,向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式,从而应用方程思想解决问题,化形为数,使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则,对于非零向量a,b,当|ab|ab|时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|ab|ab|等价于向量a,b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数