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1、极坐标参数方程练习题1.在直角坐标系xOy中，直线C： x= 2,圆G: (x1)2+(y2)2= 1,以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C, G的极坐标方程； . _(2)若直线G的极坐标方程为0 =彳(P F),设C2与G的交点为M N,求GMN的面积.解：(1)因为x= p cos 8 , y = p sin 8 ,所以C的极坐标方程为p cos 0 = 一 2, G 的极坐标方程为p2 2 p cos 0 4 p sin8+4 = 0.(2)将 8 =代入p2 2 P cos 0 4 p sin8+4 = 0,得 p 2 3y2 p+ 4= 0,解得p 1 =
2、 22, p 2 = 212.故 p 1 p 2 =啦,即 | MN = V2.，1由于G的半径为1,所以GMN勺面积为2.4. (2014 辽宁，23, 10分，中)将圆x2 + y2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的2倍，得曲线C(1)写出C的参数方程；(2)设直线l : 2x + y 2 = 0与C的交点为P1,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 PR的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.X = Xi ,解：(1)设(Xi, y1)为圆上的点，经变换为C上点(x, y),依题意，得y = 2y1,.V2由 x1 + y1= 1 得 x + 2 =1.2
3、即曲线C的方程为x2+ 4=1.x = cos t .故C的参数方程为，(t为参数).y = 2sin tx= 0, y=2.2r x 2+！=1, x=1, r(2)由 4 解得 或y = 02x + y 2 = 0不妨设Pi(1 , 0) , P2(0 , 2),则线段1，1RR的中点坐标为万，1 ,所求直线斜率为k=111于是所求直线方程为y1=2 x万.化为极坐标方程，并整理得2 p cos 84psin 8= -3,即 P 4sin 0 2cos 0 .（2）（2015 吉林长春二模，23, 10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半 ，、冗,轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的
4、极坐标万程为P cos 0w=1, M N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.写出曲线C的直角坐标方程，并求 M N的极坐标;设M, N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】 (1)将2 P cos2 8 =sin 0两边同乘以p ,得2( p cos 0)2= p sin 0 ,化为直角坐标方程为2x2=y,G: p cos 8=1化为直角坐标方程为x=1,z -x = 1,联立可解得 y=2,所以曲线C与G交点的直角坐标为（1 , 2）.三八九(2): p cos 0 - =1,八九八九p cos。- cos-3- + p sin 8 sin = 1.x= p cos 0 ,1V3又 y
5、=psin e,望+学i即曲线C的直角坐标方程为x + 43y 2 = 0.令 y = 0,贝U x = 2;令 x = 0,贝U y= M2, 0), N 0,挛3.M的极坐标为（2, 0）, N的极坐标为M N连线的中点P的直角坐标为1T ,3P的极角为0二百, ._ _ 一一一 九直线op的极坐标方程为0 =（ p e R）.注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】 解答题（1）的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题 先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标.x= 4+ 5cos t,（2013 课标I, 23, 10分）已知曲线G的参数方程为（t为参数），y=5+ 5sin t以坐标
6、原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p =2sin 9 .（1）把C的参数方程化为极坐标方程；（2）求C与G交点的极坐标（p 0, 0 9 /3).y= p sin 0故圆G与G的公共弦的参数方程为 x 1 (-V3tV3).y=t或参数方程写成x 1 -yV3y=y,x方法二：将x=1代入y =得p cos 8=1,从而p1cos 0 .于是圆G与G的公共弦的参数方程为x= 1,y=tan 05. （2015 河北邯郸二模，23, 10分）已知圆C的极坐标方程为p =2cos 0 ,直线13xx = 2+ 2 t，正冗l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为号
7、4 ,设直线l与圆C交y=2+2t于点P, Q（1）写出圆C的直角坐标方程;(2)求 | Ap | AQ 的化解：（1）因为圆C的极坐标方程为p =2cos 0 ,2所以 p =2 p cos 0 ,将其转化成直角坐标方程为x2+ y2 = 2x,即(x 1)2 + y2= 1.（2）由点A的极坐标坐,十得直角坐标为A，2 .将直线l的参数方程13x=2+1 1 y = _ + _t y 2 2t,（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x-1）2+y2/口 23-11=1,得 t - V t -2=0.设tl, t2为方程t2-5111 N=0的两个根，则t1t2 =12所以 |Ap |AQ =
8、 |tit2|1 =2X = t cos a ,2. (2015 课标H, 23, 10分，中)在直角坐标系xOy中，曲线G：(ty = t sin a ,为参数，tW0),其中00 aV冗.在以O为极点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G: p = 2sin 8 , G: p =2(3cos 0 .(1)求G与C3交点的直角坐标;(2)若C与G相交于点A, G与G相交于点B,求| AE|的最大值. 解：(1)曲线G的直角坐标方程为x2 + y2-2y = 0,曲线C3的直角坐标方程为x2 + y2 243x = 0.x2+y22y=0, 联乂 x2+y2 23x = 0,亚x = 0, 一
9、 2 解得 或y=03y=2.3所以G与G交点的直角坐标为(0 , 0)和 晋,(2)曲线G的极坐标方程为8 = a ( p C R, p W0),其中0& a 九.因此A的极坐标为(2sin a , a ) , B的极坐标为(243cos a , a ).所以|AB=|2sina -23cos a |冗=4 sin a w35江八.1x= 3+ 2，,3y=T当口 =56-时，| AB取得最大值，最大值为4.3.(2015 -陕西，23,10分，易)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为 243sin 9 .(1
10、)写出。C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由 p =2q3sin 9 ,得P2 = 2yf3 p sin 0 ,从而有 x2+ y2 = 23y,所以 x2+ (y 43)2 = 3.(2)设p 3+,，又 a0, V3),则 PC=y 3 + gt 2+ 坐t 4 2 = W+ 12,故当t=o时，| pc取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).5. (2 014 课标II , 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴 . 冗正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标万程为p =2cos 9 , 8
11、C 0,万.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l : y=J3x + 2垂直，根据(1)中你得到的 参数方程，确定D的坐标.解：(1) C 的普通方程为(x 1)2+ y2=1(0&y&1).一Ix= 1 + cos t ,，.一可得C的参数万程为(t为参数，000冗).y=sin t(2)设口1 +cos t, sin t).由(1)知C是以G(1 , 0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GDf l的斜率相同，tan t =也，t =5.冗 冗 3 73故D的直角坐标为1 + cos万，sin y , IP 2,.x = 2cos t .7他3 课标也23, 1。分，中)已知动点P, Q都在曲线C： y = 2sin t (t为参数)上，对应参数分别为t=a与t=2a(0 /2兀)，M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有 P(2cos a, 2sin a), Q2cos 2 a , 2sin 2 a),因此 M(cos a + cos 2a, sin a +sin 2a).M的轨迹的参数方程为X= cos a +cos 2 a , (a为参数，0a 2兀).y= sin a +sin 2 a(2) M点到坐标原点的距离
