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1、极限和导数卡本讲提示W本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍,并指导 同学在实际的物理情景中应用。讲义在内容上注重讲清数学知识的概念与思维方式，相对于 野蛮的“摔公式”教学方法，同学们能一定程度上领略微积分的奇妙与美感。本节知识提纲1 数列极限：数列极限的定义，数列极限的计算2 函数极限：函数极限的定义，物理中极限的使用3 导数：导数扩展了物理量的定义。掌握导数的几何意义，基本求导公式，求导运算法 则最后我们一贯的反对学习数学只关心数学公式怎么使用的态度，这种情况在喜欢物理的 同学中非常普遍，这种心态的学习在物理上一定也是走不远的。本讲义实际讲解的是很不严 密的，
2、代替不了真正的数学课，建议有兴趣的同学课后阅读提升对于数学的理解。识只模第一部分数列极限知识点睛先思考这个问题0.9999 和 1哪个大？纯洁而朴素的想法如下：09 1, 0.99 1, 0.999 0，都存在一个整数n，使得对于任意m n，I a -p l 0，总有一个整数n使得 10-n，则对于m n，I a -0.999.I二 0.00.099 0.00.01 。按照极限的定义0.9999 是数列的极限，mmm -1同理 1 也是数列的极限，二者是相等的。不加证明的给出几个定理，有兴趣的同学可以自己证明：定理如果数列存在极限P和P，P二P1 2 1 2定理 如果数列的极限存在，则其无穷子
3、数列极限存在，并于原数列相等。定理 单调有界数列一定存在极限定理陕逼定理如果数列a b 0，令n -ln2/ln +1，方括号代表取整，11则对于任意m n，有1 a 01v，按照定义，a的极限是0。m2 m 2 nn例2】 说明下列数列是否有极限，如果有极限，极限为多少。(1) a =1；nn2a 二(1)n ；n(2)易证明叮nrr和jn分别都不存在极限，它们的差或者商有极限么？ 解析(1)1、极限为 1 常数列的极限显然是其自己2、 对于任意,令n = &1/可叮，则对于任意m n， 1 a 一Ol a,按定义a的极mnn限为01 33、 同上面一题，易证的极限是0。这样lima = 1
4、 += 1 + (3)-0 = 1n + 4“T8 n n + 4(2)0 a =nn +1 nn +1 + fn4、不存在极限。取出n为偶数的子数列，极限为1，n为奇数的子数列极限为-1,二者不等, 所以极限不存在。，易证的极限是0，所以a的极限是0,同理商的n +1n极限是1.例3】 把一个篮球从离地面5米高的地方静止释放，假设其受的阻力大小恒定，为重力的 一半，篮球落地后与地面碰撞过程中能量几乎不损失，计算篮球最后的总路程。答案】10米例4】证明lim(1+ -)n存在，并且2 lim(1+丄)“ C0 + C1 = 2(当 n 2)nn n n nn2n nn n n n所以lim(1
5、+丄)n 2 ；而n*n(1、厂。 1 厂2 1 厂 1” n(n 1)n(n 1)(n 2)n(n 1)(n 2).1(1+)n = C 0 + C1 + C 2+ . + Cn= 2 + . +n n nn n n2n nn2!n23!n3n!nn11111 1 2 +. + 2 +. + 32!3!n!21222”-11所以 lim(1+) n 0内有定义，并且存在p使得，对00于任意S 0，存在0，使得对于任意x G (x0, x0 + 0 ) , |f (x) p|那么称f (x)在x点处存在右极限p，记做p = lim f (x)0S x0+类似的可以定义左极限，P = lim f
6、 (x)，如果左极限等于右极限，则不区分二者，直接称x - xo为函数在x存在极限，记做：p二lim f (x)。对于连续函数，定义域内极限总是存在的，0x- x00并且有左极限等于右极限，并且就等于其自身在那一点的函数值。数列极限的各种运算法则 和定理一般情况下都适用于函数极限的运算。类似的，可以定义函数在无穷远点的极限：一个函数在区间x w (A,a)内有定义，A为任意实数，如果存在p使得，对于任意s 0，存在B，使得对于任意x B，有| f (x) p|那么称f (x)当x趋于正无穷时有极限p，记为lim f (x) = p。类似的可以定义f (x)当x趋于负无穷时有极限p，记为x-a+
7、lim f (x)二 p。x-a有时候当x趋近于某个数，或者x趋向于无穷大时，函数值“要多大有多大”(其实就 是把极限定义中的|f (x) p| 8)，这时候形象的记做：lim f (x) = a。x-x01读作x t x时，f (x)趋向于无穷。例如lim二g。这代表f (x)在这一点的极限不存0x-8 x 8在，并且是以趋向于无穷的方式不存在。一个极限不存在并不一定意味着它趋于无穷，例如limsin(),这个函数的极限并不存在，而且它也不趋向于无穷，而是在-1到1之间来回振 x tOX荡。和计算数列的极限一样，实际计算函数极限的时候也不会每次都用极限的定义计算。实 际操作的时候会先观察极限
8、存在的情况。有一些基本的函数直接知道极限的情况。例如limxn，n 1时趋于无穷，1 n 0时等于0。然后尽量把函数化成几部分的初等运算,XT8而每一个部分极限都是存在的，并且使部分之间的运算不出现发散。这时候可以先求每一部 分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。极限在物理学中的应用是广泛的。回忆秋季第一讲，瞬时速度、瞬时加速度都是利用极 限定义的：(+、 x(t + At)-x(t)( ) . v (t +) v (t)v (t)二 lim； a (t)二 lim xlxAt tOAtxAt tOAt例如对于匀加速直线运动：v(t)二 lim s(t + At) s(t)Att0s (t)二 s + vt + - at 2 oo2Atv At + at At +1 aAt 2 =lim 0-At t0At1二 lim( v + at + aAt)二 v + atAtt0020同理计算瞬时加速度。例题精讲sin x【例6】证明lim 二1sin x sin x解析从图
