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1、数学文献综述高中数学不等式的教学策略研究 摘要 不等式在高中数学教学中占有很重要的位置,在实际问题中的应用也非常广泛。由于以往研究更多地侧重不等式的性质、解法和证明,通过建立不等观念和抽象不等模型,体会不等式的重要性和实际应用价值等教学目标,更显得对高中“不等式”进行教学研究的必要。因此,探究不等式教学策略,为髙中不等式教学提供参考和帮助,是非常具有现实意义的。 关键词 高中数学 不等式 教学策略 1. 引言 关于高中数学不等式教学的研究 一 不等式的性质、求解和证明 关于不等式的性质、求解和证明历来是不等式知识研究的重点和难点,很多中学老师围绕着这一主题作出了方法上的经验总结。如:张志略通过
2、代换法、函数法、图象法、估值法、利用几何意义法、充充分必要条件法介绍了不等式的几种非常规解法;吴传叶通过利用函数的定义域、绝对值的性质、函数的值域、函数图像、绝对值的几何意义、构造函数利用函数的单调性例析了解不等式的几种策略;王礼丽介绍了绝对值不等式的几种解法:化归定义法、公式法、平方法、零点分段讨论法、数形结合法、分类讨论法等;刘明华结合新课程标准对高中不等式教学的要求,提出了图解法、零点分区间法、数轴标根法、单调性法、换元法、观察法等几种常用的解不等式的方法,试图引导学生进行探索,培养学生科学探究的品质;张蕴提出了证明不等式的几种方法:如构造法、分析与综合法、数学归纳法、放缩法(增减法)、
3、换元法证不等式等;王喜春通过实例说明了不等式证明的4种常用技巧:如放缩的技巧、转换的技巧、化繁为简的技巧、利用辅助函数的技巧等。另外,还有诸如增量法、向量法、定积分法、导数法、向量法、反证法等方法证明不等式。 二 不等式中数学思想的体现 不等式问题是中学数学的重要内容之一,其中蕴含的解法和数学思想涉及到数学和其他学科的很多方面,在实际生产和生活中有着重要的应用价值,它是数学研究活动中解决问题的根本思想。学习此部分内容能很好地培养学生分类讨论思想、数形结合思想、化归思想、函数与方程思想等。田宝运通过对不等式中蕴含的数学思想在不等式中的应用的例证分析,说明了数学思想培养的重要措施以及数学思想的价值
4、;李明通过利用函数的奇偶性、单调性以及函数的图像和周期性、最值等5个方面的知识,说明应将函数的相关思想及时渗透在不等式解法 2. 高中不等式的教学策略 通过对相关数学教育理论、高中数学不等式内容的分析及有关不等式内容的考查分析,我们已经知道了在高中数学课程基本理念指导下,教学过程本质发生了重大改变,教学过程可以说是一个沟通、理解和创新的过程,教学不再只是将知识装进学生的大脑里,更重要的是对问题进行分析和思考,教学的结果应使学生将他们掌握的方法和获得的知识贯穿起来,进而创造性地解决实际问题。 一、设计与生活密切联系的情境问题,衔接初高中不等式知识 数学知识本身具有系统性和联系性,有关不等式的学习
5、,其知识是在初中打下基础的,高中阶段学习不等式知识是对初中不等式学习的完善和提升。因此,在高中继续研究和加深不等式相关知识内容的学习是非常必要的,这符合学生的认知规律和时代的发展要求。 案例不等关系的引入:通过设计与日常生活紧密联系的具体情境,将具体问题抽象化,让学生感受到身边存在的大量不等关系,了解不等式(组)的实际背景,做好初高中知识的衔接。由于本节课难度不大,可以通过具体问题,让学生去感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的等量关系,并从理性的角度去思考。鼓励学生用数学的观点进行类比、归纳、抽象,培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;授课时要注重学生的探究活动。学生在学习过程中,
6、通过对问题的探究思考、体验、认识、广泛参与,及实际问题背景的设计,培养学生严谨的思维习惯,主动积极的学习品质,从而提高学习质量。问题导入:通过学生熟知的具体平面几何知识和日常生活中的实例,描述客观事物在数量关系上存在不等关系,并用不等式抽象表示。 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边等。人们还经常用长短、高矮、轻重、胖瘦、大小、不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 例如:(1)限速60km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度V不超过60km/h,写成
7、不等式就是v60。(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量P应不少于2.3%,写成不等式组,即用不等式组来表示 f2.5% p2.3% 通过这些具体情境,让学生感受在现实世界和日常生活中存在着的大量不等关系,让学生认识到不等关系和相等关系都是客观世界中的基本数量关系的,进而体会建立抽象的不等观念和不等模型的重要性和实际应用价值。 二、注重不等式解法的探索,提高思维能力,增强知识间联系 我们知道,不等式的性质和解不等式是不等式知识内容的基础,而解不等式是一个重要的运算能力,只有掌握了一定的运算能力,才能更好地运用、迁移所学到的数学知识进而创新。另外,还应重视
8、含有参数的不等式的练习,应注意在学习解不等式这部分内容,不能孤立地学习,一定要放在数学大环境中去,要加强与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际应用问题等知识间的联系。 案例:一元二次不等式解法的探究 通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的关系,获得一元二次不等式的解法。培养学生数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力,通过看图像找解集,培养学生“从形到数”的转化力,“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。 为了解决一元二次不等式及其解法的问题,引出不等式的解集。通过比较分析和观察具体的二次函数图象及与相应的一元二次方程的关系,充分注
9、重数形结合,并推广到一元二次不等式的解法问题。 首先提问:在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数,它们之间具有什么关系呢? 然后作出y= 2x-7的部分对应值表,并画出函数图象: 通过以上的探索,发现: 当x = 3.5时， y = 0 ，即 2x - 7 = 0 当x 3.5时， y 3.5时， y 0 ，即 2x - 7 = 0 接着,引导学生根据函数图像,利用数形结合,得出结论: 可以看出,一元二次不等式的解法,通过利用典型的例子,引导学生进行思考、总结,使学生理解概念和结论,逐步形成“过程”意识,并在这个过程中使学生体会到“函数与方程”、“数形结合”及“化归”的数学思想
10、方法。 之所以要强调数学思想方法,是因为数学思想方法是通过思维活动对数学认知结构形式的核心,而不等式作为高中数学教学的重要内容,是分析、解决其他数学问题的基础与工具,通过对不等式的分析,体现了数形结合思想、函数与方程思想,建立数学模型及分类讨论的思想在其应用的过程中体现得淋滴尽致,而这些数学特有的方法,需要有目的地加以培养,因为这是普通民众数学素质的组成部分。学习数学的目的不能只是为了解题而解题,事实上当学生离幵学校以后,在实际生活中数学公式可以忘记,恰恰是这些数学思想方法将会长期地起作用。 三、通过观察推理论证过程,培养学生的抽象思维能力 通过对不等式教材和高考中有关基本不等式内容的分析发现
11、,新课标只将基本不等式放入必修5,而将其余的证明方法不再放在本章,显示对这一部分知识内容的要求大为降低,而更加侧重体现基本不等式在解决问题中的工具作用。 案例基本不等式的推导证明过程 通过观察基本不等式的推导证明过程,通过由图象找解集的方法、数形结合思想,让学生体会其中蕴含的思想方法,提高学生逻辑思维能力和抽象思维能力,从一方面提高运算(变形)能力。 四、加强知识的联系,将实际生活问题数学抽象化 通过分析有关基本不等式的应用问题,我们发现是这类问题是以实际问题为背景,如“函数(含数列)为背景”来设置的,通过将函数的单调性、函数的值域、不等式的性质、基本不等式等知识有机地结合在一起,来考查学生综
12、合运用知识的能力,体现了基本不等式在解决问题中的工具作用。因此,在学习的过程中应加强知识间的联系,将实际生活中的问题抽象为一定的基本不等式模型,提高综合分析能力和解决问题的能力。 通过对基本不等式应用的学习,应让学生体会到数学来源于生活,体会不等式在实际生活中的应用价值。案例基本不等式在实际生活中的应用,让学生体会不等式的应用价值。把抽象的问题具体化、形象化,可以增强学生运用数学的能力,使学生具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系,了解不等式组的实际背景,从而激发学生学习不等式的兴趣。 例某工厂要建造一个长方体无盖r:水池,其容积为4800 m深为3 W,如果池底每1 m2的造
13、价为150元,池壁每1 /W2的造价为120元,问怎样设计池能使总造价最低,最低总造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,将生活问题抽象为数学问题,即建立函数关系式,然后求函数的最值。其中涉及了不等式的性质和基本不等式定理。 设计与学生生活联系紧密的长方体储水池为问题情境,体现不等式性质和基本不等式在实际中的应用,首先应注意将抽象的数学语言转化为函数解析式,然后通过“隐藏”的基本不等式和不等式性质在求最值中的应用,体会数学问题来源于生活实际和不等式的实际应用价值。在解决问题时,应注意不等式性质的适用条件,即“一正、二定、三相等”。 五、设置典型问题,引导学生发现问题本质 通
14、过研究线性规划问题,我们发现:线性规划问题是不等式与直线方程、二元一次不等式的区域问题、函数图像及数形结合思想相结合的,除了一些常规的线性规划问题之外,也和其他知识交汇。因此在线性规划的教学中,学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和联系,教师应着力于引导学生通过探索、实践、交流等学习方式,理解图解法的本质就是数形结合的思想,从而培养学生的思维能力。 1.设置典型问题: 在题设上,给出一定的二元一次不等式方程组,在不等式组表示的平面区域这一限定下,求出目标函数的最值。在解答上体现在,首先通过准确、迅速地画二元一次不等式组所表示的平面区域,然后移动目标函数的平行线,找出与可行域有公共点且纵
15、截距最大或最小的直线,最后解方程组求出最优解,作出答案。 在突破困难知识点时,教师应注意:设问要充分具体,用问题引导的方式让学生发现解决问题的方法,从而学生的学习变被动为主动。此外,在教学中还应充分考虑数学的学科特点和高中生的心理特征,以及不同水平、不同兴趣的学生的学习需要,从学生的实际出发,根据学生的个别差异,有的放矢地进行教学。让问题引导课堂,让探索激活思维,引导学生积极主动地学习,进行有针对性的教学。 2.引导学生发现问题本质 通过让学生举出Z的几个可能值,启发学生进行思考:当z= 4时,有4 = 2x + y这是一条直线_y = -2x + 4,4是直线的纵截距。那么推广到直线_y = -2x + 4的纵截距即为z,只要求平行线_y = -2r + z的纵截距的最值即可。 借助这个典型实例,通过创设层层深入的问题,由问题引入教学的策略能激发学生学习的积极性,扩展数学思维领域,调动学生的学习积极性和主动性,引导学生投入高认知水平的思维活动。根据学生的课堂反馈逐步深化问题加以引导,向本节课的目标领域靠近,在这个递进的过程中,经历了发现问题和解决问题的过程,有利于学生创新意识的形成。同时,揭示和提炼问题所蕴含的深刻数学思想方法,说明用二元一次不等式(组)来表示平面区域,始终渗透
