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1、高考数学精品复习资料 2019.5解答题滚动练71如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都相等，且ABB160，D为AC的中点，求证：(1)B1C平面A1BD；(2)ABB1C.证明(1)连结AB1交A1B于点E，连结DE.因为D，E分别为AC，AB1的中点，所以DEB1C.因为DE平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD.(2)取AB的中点O，连结OC，OB1.因为BABB1，且ABB160，所以ABB1为正三角形，而O为AB的中点，所以OB1AB.在正三角形ABC中，O为AB中点，所以OCAB.因为OB1OCO，且OB1平面OB1C，OC平面OB1C，所以AB平面OB
2、1C.又因为B1C平面OB1C，所以ABB1C.2已知数列an的前n项和Sn满足：Snt(Snan1)(t为常数，且t0，t1)(1)证明：an成等比数列；(2)设bnaSnan，若数列bn为等比数列，求t的值(1)证明当n1时，S1t(S1a11)，得a1t，当n2时，Snt(Snan1)，即(1t)Sntant，(1t)Sn1tan1t，所以antan1，故an成等比数列(2)解由(1)知an成等比数列且公比是t，antn，故bn(tn)2tn，即bn.若数列bn是等比数列，则有bb1b3，而b12t2，b2t3(2t1)，b3t4(2t2t1)，故t3(2t1)2(2t2)t4(2t2t
3、1)，解得t，再将t代入bn得bnn，由知bn为等比数列，所以t.3图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2m.(1)当渠中水深CD为0.4m时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解(1) 如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，以1m为单位长度，建立平面直角坐标系xOy.半圆弧的方程为x2y21(y0)，A(1,0)，B(1,0)，C(0，1)，D(0，0.6)直线y0.6与半圆弧的交点为(0.8，0.6)答所求的水面宽度为
4、1.6 m.(2)要使得所挖出的土量最少，则等腰梯形的两腰及下底与半圆弧相切设等腰梯形的右腰与半圆弧相切于点T(cos，sin )，则切线EF的方程为xcosysin1.令y0，得E，令y1，得F，设梯形OCFE的面积为S，则S(CFOE)OC1，S，令S0，得.当时，S取得最小值，最小值为，此时CF.答当改挖后的水渠底宽为m时，所挖出的土量最少4函数f(x)1lnx，其中k为常数(1)若k0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若k5，求证：f(x)有且仅有两个零点；(3)若k为整数，且当x2时，f(x)0恒成立，求k的最大值(1)解当k0时，f(x)1lnx.因为f(x)
5、，从而f(1)1.又f(1)1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y1x1，即xy0.(2)证明当k5时，f(x)lnx4.因为f(x)，从而当x(0,10)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(10，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x10时，f(x)有极小值因为f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1,10)之间有一个零点因为f(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点从而f(x)有两个不同的零点(3)解方法一由题意知，1lnx0在(2，)上恒成立，即k在(2，)上恒成立令h(x)，则h(x).设(x)x2lnx4，则(x).当x(2
6、，)时，(x)0，所以(x)在(2，)上为增函数因为(8)82ln8442ln80，(9)52ln90，所以存在x0(8,9)，(x0)0，即x02lnx040.当x(2，x0)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(x0，)时，h(x)0，h(x)单调递增所以当xx0时，h(x)的最小值为h(x0).因为lnx0，所以h(x0)(4,4.5)故所求的整数k的最大值为4.方法二由题意知，1lnx0在(2，)上恒成立f(x)1lnx，f(x).当2k2，即k1时，f(x)0在(2，)上恒成立，所以f(x)在(2，)上单调递增而f(2)1ln20成立，所以满足要求当2k2，即k1时，当x(2,2k)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(2k，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x2k时，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk.从而f(x)0在(2，)上恒成立等价于2ln2kk0.令g(k)2ln2kk，则g(k)0，从而g(k)在(1，)为减函数因为g(4)ln820，g(5)ln1030，所以使2ln2kk0成立的最大正整数k4.综合，知所求的整数k的最大值为4.
