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1、2012-2013学年第一学期统计 10本随机过程期中考试一. 填空题1. 设马氏链的一步转移概率矩阵P二(P.)，n步转移矩阵P = (p (n),二者之间的关系为ij ijP(n) = Pn2. 状态i常返的充要条件为另p(n)=8。iin=01.3.在马氏链x ,n 0中，记 p (n) = P xm 丰 j,1 m i jn0p=ij艺P(n)，若P 0 n是取值于 S 的一列随机变量，= i , X = i ., X = i ) = Pn 00n-1n-1=i | X = in+ln+1iVn 1,Vi ,.i g S,并且满足P(X= i | X0n +1n +1n +1n，贝畀X
2、 : n 0 是一个马氏链。 n2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。 X3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。X4. 若状态i知状态j，则i与j具有相同的周期。V5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。V三. 简答题1. 什么是随机过程，随机序列答：设T为0, + g )或(-a，+ g )，依赖于t(t g T)的一族随机变量(或随机 向量)g 通称为随机过程，t称为时间。当T为整数集或正整数集时，则一般 t称为随机序列。2什么是时齐的独立增量过程答：称随机过程 g : t 0为独立增量过程，如果对于Vn, V
3、O t t 0 及其灭绝时间t，n求灭绝概率P解：由子代分布为二项分布B（2，1/2），可得：Pk= Ckpkqz n=P0=1/4，P1=1/2，P2=1/4.又知 f（ p ） = ppi = p =1/4+1/2 p +1/4 p 2ii=0解得： p =13. 设马尔科夫链的转移概率矩阵为:_0.3 0.70 _P = 00.2 0.80.700.3（1）.求两步转移概率矩阵P（2）及当初始分布为Px = 1 = 1, Px = 2= Px = 3= 0时，经两步转移后处于状态2的概率。0 0 02）求马尔科夫链的平稳分布。（I）两步转移概率矩阵0.090350,560.560.040
4、.40,420.490,09；汨初始分布为尸X二 1二 1, PXi!=2 = PXti =3) = 0 时.0,56)0,09 0.35(I 0 0)0.56 0.04v Q,42 U.490,560.4 -(0,09 0350.09;故经两步转移厉处F状态2的概率为03気（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态所以平稳分布存在.得如下方程组玄二 02 眄 +曲；+0.7加=0. 丁齊十“2乳+0职，若=Our, + 0.8jt2 + 0+3 码场+孤2十卉* = I解上述方祝组得T稳.分布为4. 设马尔科夫链的状态空间1=1,2,3,4,5，转移概率矩阵为:0.30.40.300、0.
5、60.4000P =010000000.30.7 0000.10丿求状态的分类，各常返闭集的平稳分布及各状态平均返回时间。解：（1）状态分类C=1,2,3； C2 =4,5（2）由常返闭集的定义可知，常返集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回 时间。兀=0.3兀+ 0.6兀112A对的常返闭集而言解方程组兀=0.4兀+ 0.4兀+兀2123兀=0.3k31兀+兀+兀=112330359解上述方程组的平稳分布为兀=,兀=,兀=石71 74 2 74 3 741 74二 35,行17_ 1 _ 749174各状态的平均返回时间为t =,t =1 兀 302 兀12兀=0.3兀+兀B对的常
6、返闭集而言解方程组1 1 2兀=0.7兀21兀+兀 =112解上述方程组的平稳分布为兀=10,兀=171 17 2 171171各状态的平均返回时间为t =,t =-1 k10 2 k125.若P = , P , P ,它的灭绝概率为兀，且P =, P =, P=,它的灭绝概率02 1424004 1422为兀.求：0（1） k的值；（2）兀的值；（3）假定它们的初始时由n个个体组成，分别求出两者的总体 00灭绝的概率。3解：（1）由于卩=1,所以兀=1；40（2） k 满足 01 1 1K =+ K + K 20 4 4 0 4 01 解得这个二次方程的最小的正解是K =。02（3）因为总体
7、灭绝当且仅当初始代的每个成员的家庭都灭绝，要求的概率是K n。则 01K n =1，K n =0 0 12 丿6. 小张的宾馆刚开张不久，入住的家庭数是均值为九的随机变量，再假定一个家庭在宾馆 停留的天数是参数为P（0 P 0是马尔科夫链。求： 此马尔科夫链的转移概率。解:为了求P，我们假定在一天开始是宾馆中有i个家庭，因为这i个家庭将以概率q=l-qi , j再呆一天，由此推出这i个家庭中再留一天的家庭数R是二项(i,q)随机变量。所以，i以 N 记这天新入住的家庭数，我们看到P 二 P (R + N 二 j)i , ji对于R取条件，并且利用N是均值为九的泊松随机变量，我们得到iP = P
8、(R + N = i IR = k)qkpi-ki ,jii (k 丿k=0q k pi-k=P(N = j - k IR = k)ik=0P( N = j - k)qk pi-k九j - k(j - k)!qk pi-kk=0k=0Ik丿7. 设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为Q ,而今天无雨明天有雨的概率为0 ；规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设Q = 0.7,卩=0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=r p00p0i1=r0.70.31，于是L pi0p110.40.6r o.6i0.3
9、91r0.57490.425i1P(2) = PP=0.520.48，四步转移概率矩阵为 P(4) =P(2)P(2) =0.4332，从L0.5668而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P(4)= 0.5749。008. 一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。解：步转移概率矩阵P=101 13 310十3十33P(2) = P 2 =十-7+999十十+333由p(2)o知，此链有遍历性；设极限分布兀=G，兀,兀),ij 1 2 3兀 =+兀132方程组4兀=十兀33 2兀+兀+兀123兀=十1 53 4 兀=-32 5=1兀=十350.50.40.19.设马尔科夫链的状态空间为I = 0丄2 , 步转移概率矩阵为P = 0.3 0.4 0.30.20.3 0.5求其相应的极限分布。解：设其极限分布W = (%，W1,巴)，由宀得到方程组0.5w + 0.3w + 0.2w = w0 1 2 00.4w + 0.4w + 0.3w = w4 0 1 2 10.1w + 0.3w + 0.5w = w0 1 2 2w
