常微分方程的应用

《常微分方程的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程的应用（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 17 常微分方程应用结课作业学院：轻工与纺织学院班级：服装设计与工程3-班 学号:21805024 姓名：周志彬常微分方程经济应用微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用,在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。读者可从中感受到应用数学建模的理论和措施解决经济管理实际问题的魅力. 随着社会经济的迅速发展,数学在我们的生活中可以说无处不在，特别是在经济管理中的应用越来越广泛经济学必须进行定量研究.而常微分方程是对经济管理问题进行定量研究的最重要、最基本的数学工具之一,为了研究经济变量之间的联系及其内在规律,常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式

2、,并由此拟定所研究函数的形式，从而根据某些已知条件来拟定该函数的体现式.从数学上讲，就是建立微分方程并求解微分方程.用微分方程解决问题,下面就是几种例子： 一、公司资产函数 例。某公司t年净资产有(百万元）, 并且资产自身以每年5%的速度持续增长, 同步该公司每年要以00百万元的数额持续支付职工工资.(1) 给出描述净资产的微分方程;(2)求解方程， 这时假设初始净资产为(） 讨论在三种状况下, 变化特点.解 (1) 运用平衡法,即由净资产增长速度=资产自身增长速度职工工资支付速度得到所求微分方程 (2)分离变量,得 两边积分,得为正常数),于是 或 将代入,得方程通解： 上式推导过程中当时，

3、知 一般称为平衡解，仍涉及在通解体现式中(3） 由通解体现式可知,当百万元时,净资产额单调递减，公司将在第36年破产;当百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在60百万元不变；当百万元时，公司净资产将按指数不断增大二、价风格节模型例 如果设某商品在时刻t的售价为P,社会对该商品的需求量和供应量分别是P的函数 则在时刻t的价格对于时间t的变化率可觉得与该商品在同步刻的超额需求量成正比，即有微分方程 (3)在和拟定状况下, 可解出价格与t的函数关系，这就是商品的价风格节模型.例如:某种商品的价格变化重要服从市场供求关系 一般状况下，商品供应量是价格的单调递增函数, 商品需求量Q是价格P的单调递减函数

4、, 为简朴起见， 分别设该商品的供应函数与需求函数分别为 （8.6)其中均为常数,且当供应量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格并称为均衡价格.一般地说, 当某种商品供不应求, 即时, 该商品价格要涨, 当供不小于求，即时, 该商品价格要落. 因此, 假设t时刻的价格的变化率与超额需求量成正比， 于是有方程其中用来反映价格的调节速度.将(8.)代入方程， 可得 （8.7)其中常数方程(8.)的通解为假设初始价格代入上式, 得于是上述价风格节模型的解为由于知， 时,阐明随着时间不断推延， 实际价格将逐渐趋近均衡价格.三、新产品的销售速度分析 记时刻时已售出的新产品数为(),假设该产

5、品使用以便,这些正在使用的新产品事实上起着宣传的作用,吸引着尚未购买的顾客，设每一种新产品在单位时间内平均吸引K个顾客，由此可知,X()满足微分方程： dXt=KX,X(0）=0. 其解为: X(t)=X0et . 若取t=0表达新产品诞生的时刻：则X（t)=, 与事实不符，它只考虑了实物广告的作用，而忽视了厂家可以通过其她方式宣传新产品从而打开销路的也许性，因此呢应当有个上界，设需求量的上界为K,则尚未使用新产品的户数为（K-X(t)）由记录规律可知,ddt与X(K-X)成正比,比例系数为r，则: dXdt=rX（K-X) 它的解为X（）=K/1e-r一阶导数Xc(t)=c2r-Krt/ce

6、-Kr二阶导数Xd（t)=K3r2（ce-r-)(1+ce-rt)当X(t)0时,X（）单调增长,由(t)0 得出ce-Krt0=1,此时 X(t0)=/2当tt0时,Xd(t)t0),销售速度c（t)开始下降。 因此，顾客采用某一新产品的这段时期，应是该产品正式大批量生产的较合适的时期,初期应采用小批量生产并加以广告宣传,后期则应适时转产,这样做可以获得较高的经济效益！四、差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似措施,我们可以建立在经济学中的差分方程模型,下面举例阐明其应用.1.“筹措教育经费”模型某家庭从目前着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行,用于投资子女的教育,并计算后开始

7、从投资账户中每月支取1 000元,直到后子女大学毕业并用完所有资金.要实现这个投资目的, 内要总共筹措多少资金？ 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%， 为此, 设第个月, 投资账户资金为每月存资金为b元， 于是后, 有关的差分方程模型为 (9.1)且例： 某家庭从目前开始,从每月工资中拿出一部分资金存入银行,用于投资子女的教育,筹划后开始从投资帐户中每月只取1000元,直到后子女大学毕业并用完所有资金.要实现这个投资目的,内要总共筹措多少资金?每月要在银行存入多少钱?假设投资的月利率为0.5%,解：设第t个月,投资帐户资金为,每月存资金为b元,于是，后，有关ta的差分方程模型

8、为 (.1)且解方程(91)得其通解为其中为任意常数.由于 从而有 .从目前到内,满足方程 （2)且解方程（.1)得通解以及从而有即要达到投资目的,内要筹措资金97345元，平均每月要存入194.5元2.价格与库存模型本模型考虑库存与价格之间的关系设为第t个时段某类产品的价格,为第个时段的库存量. 为该产品的合理库存量. 一般状况下,如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨， 于是有方程 (9.)其中k为比例常数 例： “百花”小商店是一种专门经营各类毛巾的商店。每年营业时间为6天,每天平均售出400张毛巾,每张毛巾的批发价平均为070元，

9、每次订货的平均费用为 112元。即每次订货,不管购买的数量多少都要支出1元。目前商店是每半年进一次货，一年进两次货 。每张毛巾的存贮费用一年为0126元。这个商店的经理感觉到每年订货两次看来并非是一种好的订货措施,她但愿能找到一种措施能协助她拟定每年应当订货几次。每次的数量应当为多少,将也许为她节省一笔总的库存费用。 解析:目前“百花”商店是每年进货两次 ,每年毛巾的需求量是=(40*360)144000张 ,则每次订货数量为 440/2=张。 这个库存问题是等量需求及时补充的，因此不会产生脱销费用。这时的年度总库存费用=年订货费用+年存贮费用， 用公式表达为A=+C 其中 A为年总库存费用；

10、 B为年订货费用,B=HS/Q,式中H为年需求量，本例H400张 。S为每次订货费用， S=112元。 Q为每次订货量 ，本例 =7张。则BHSQ=4400 12/7224元。每年订货次数（N= H/Q） ，则 BNS=12=224元 。 C为年存贮费用，C/2K， K为单位商品的存贮费用,Q/2为平均库存量。本例K=026元 ， 则 C=72 0.26=4536元 。 因此“百花”商店每年订货两次，每次订货量 为 7张时的总库存费用为A十=22 4536=60元。3. 国民收入的稳定分析模型本模型重要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.设第t期内的国民收入重要用于该期内的消费, 再生产投

11、资和政府用于公共设施的开支（定为常数), 即有 (9.17)又设第t期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即 (.18)第t期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有 (9.1)由方程(.1)，(.8), (919）合并整顿得 (92)于是,相应A, B，以及可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.例:社会原收入水平1000亿元,消费为00亿元。当收入增长至1200亿元时,消费增长至00亿元。解：平均消费倾向：APC=C/Y=/20=0.75平均储蓄倾向:AP=1-AC=1-0.75=0.25边际消费倾向:MPC=/Y=(00)/(20000)=.储蓄倾向：MS=1-M=1-0.50.5自发总支出增长5亿元，DP会增长多少。 Y1/(1-c） AE Y/(1-c）AE=/(1-.） 50=100亿元自发总支出减少0亿元，GDP会减少多少。 Y=/(c）AE/（1-0.5) 4080亿元 五、总结与体会 常微分方程在经济管理中有着重要的应用,通过建立数学模型可以解决诸多复杂的实际经济问题.这次的论文所讲述的只是常微分方程在公司经济管理中应用的一小部分,有诸多东西还需要我们进一步的探讨并且，使用常微分方程解决问题时,要根据实际问题合适地使用微分方程，她在其她方面应用也很广泛,为人们解决越来越多的实际问题。