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1、杓卅呻死jt摩钱江学院本科生毕业设计（论文）（2014 届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级论文字数8000论文完成时间2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班 周立泉 指导教师 徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数 而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限 求近似值等各方面的应用关键词：泰勒公式;数学分析 ;导数Taylor Formula and Its App
2、lication in Solving ProblemMathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHuaAbstract：Taylors formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the
3、derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications.Keyword:Taylors formula;Mathematical analysis; derivative.目录1引言 12泰勒公式 13泰勒公式在解题中的应用 23.1利用泰勒公式求近似值 23.2利用泰勒
4、公式求极限 43.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用 73.3.1判断级数的敛散性 73.3.2判断广义积分的敛散性 93.4利用泰勒公式证明等式与不等式 104结论及展望 10参考文献 11致谢 12泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001 班周立泉 指导教师徐华1引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也 发挥了极大的作用关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些 具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极 值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的
5、计算等等事实上，由于许多函数都 能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式因此 泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研 究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公 式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间2泰勒公式泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质各异定性的余项为佩亚诺余项o(x x0)n)，仅表示余项是(x x0)n，即当(x T x0)时高阶的无 f (n
6、+1) (L )穷小定量的余项是拉格朗日型余项二盲厂(x-x0)n+1(L也可以写成x0 +0 (X-x0) 09 1)，(n +1)!000定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计.定理1(泰勒定理)：设f (x)在x0处有n阶导数，则存在x0的一个领域，对于领域中的任一点x, 成立f (x)二 f (X ) + f(x )(x- x ) + f (X0) (x- x )2 +- 孚(x-x )n + r (x)(1)0002!0n!0 n其中余项r (x)满足r (x)二nn(x一 xo)(n+1), 在 x 与 之间.f (n+1)( )(n +1)!上述公式(1)称为f (x
7、)在x = x0处的带拉格朗日型余项的泰勒公式余项 称为拉格朗日余项rf(n+1)(L)(n+1)!(x-x )n+10代在x与xo之间)若不需要余项的精确表达式时，余项r (x)也可也成r (x) = o(x-x0)n).此时，上述公式1) nn0则称为f (x)在x = x0处的带有佩亚诺余项的泰勒公式.它的前n +1项组成的多项式：p (x) = f (x ) + f(x )(x - x ) + f X0)(x - x )2 + + - 2(x - x ) nn0002!0n!0称为f (x)的在x = x0处的n次泰勒多项式当x0 = 0时，上式记为f (x) = f (0) + f
8、(0) x + 厶磐 x2 +x3 + + 理器 xn2!3!n!该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式带拉格朗日余项的泰勒公式对函数f (x)的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为对 Vxe U(x0)均能成立(当x不同时，g的取值可能不同)，因此这反映出函数f (x)在邻域U(x0)内 的全局性带佩亚诺余项的泰勒公式对函数f (x)的展开要求较低，它只要求f (x)在点x0处n阶可导，展 开形式也较为简单.(1)式说明当x Tx0时用右端的泰勒多项式p (x)代替f (x)所产生的误差是 0n(x-x0)n的高阶无穷小，这反映了函数f (x)在xTx0时的性态，或者说反映了 f (x
9、)在点x0处的 局部性态3泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有 重要作用，其应用也非常广泛但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子 也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用 等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解3.1利用泰勒公式求近似值 由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用在现今 社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的 一个重要环节泰勒公式是一个多
10、项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说 是轻松而又方便的但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时， x 不 能远离x0，否则效果会比较差.利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算，利用f (x)麦克劳林展开得到函数 的近似计算式为f (x)沁 f (0) + f (0)x +2!n!例1求e的近似值分析 因为e介于2和3之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这 里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到e的值.解 首先令f 6）_ ex，则f(x)二 f”(x)二二 fn(x)二 ex扌把x二0带入，得f (0)
11、= f (0)=f( n )(0) = 1于是得到ex的近似式x 2x nex 沁 1 + x +2!n!上式中令x二1，有e1 +1 +丄+丄+丄2! 3!n!由此可以求出e的近似值.例2求J1 e -x2 dx的近似值，精确到10 -50分析因为J1 e-x2dx中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达），我们可以考虑利用泰0勒公式和逐项积分的方法求A e - x2 dx的近似值.x2n+ n!解在ex的展开式中用-x2代替x得e-x2 _ 1 - x2 + 乂 + + (-1)n2!逐项积分，得J*1 e - x 2dx _ J11dx 一 J*1 x 2 dx + J*1 dx +
12、(- d J*1 dx H0 2!0 n!11 1_ 1 + 32! 51 1 111+n! 2n +1 1 .3 10 42216 1329 9360 75600上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项Rn的估计式知75600 0000015所以J0e一x2dx 1 - 3 + 币 一 42 + 茁一五 + 9360 0.746836我们不妨再看一例，1 sin x例3计算积分 dx的近似值0x莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰sin x分析因为不是初等函数，所以不能直接用牛顿x勒公式求其近似值解 由泰勒公式可得x3x5sm x =+ + 3!5!Sin(0X + 7 -却7!x7所以sin
13、(0x - 7 叟)sin x 4 x 2 x 42=1 - + + % 6x 3!5!7!sin(0x + 7 )x 6 )dx7!因此兀sin(0x + 7 一)x3x52x -+x 73!35!57!7呱(1-乂 + 乂 + 0 x 03!5!兀1isin(0x + 7 一)=1 + +23!35!57!7由此得到沁 1 - 1 + 1 沁 0.94610 x3!3 5!5103.2 利用泰勒公式求极限对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求但是对于一些求导比较繁琐，或是要多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效对于函数多项式或有理分 式的极限问题的计算是十
14、分简单的, 因此, 对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较 复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题, 因此满足下列情况时可以考虑用 泰勒公式来求极限:（1）运用洛比达法则时, 次数较多, 且求导及化简过程较繁锁（2）分子或分母中有无穷小的差, 且此差不易转化为等价无穷小的替代形式（3 ）所遇到的函数展开为泰勒公式不难当确定要运用泰勒公式求极限时, 关键是要确定展开的 阶数如果分母（或分子）是n阶，就将分子（或分母）展开为n阶麦克劳林公式若分子，分母都需 要展开, 可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数cos x - e- 2例4求limxtOx 40分析这是一个0待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次但若用泰勒公式计算就简单得多了COS x - e 2 解limxtOx 4x2x4x2x2二 lim-1 - 乂 + 乂 + 0(X4)- 1 + (-匚 + 1(-兰)+ 0(X4)2!4!22!22!4!xtOx4一存4 + o(x 4)=limXTOx 412例5 求 lim
