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1、基于ANSYS的圣维南原理数值验证谢友增（航空工程学院 航空宇航制造工程 1201041）一 引言在轴向拉伸或压缩时，可以假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。根据这一平面假设，可以推断，杆件所有纵向纤维的伸长或压缩是相等的，因此各纵向纤维的受力是一样的。我们得到，横截面上各点应力相等，于是得到 （1.1）式中：轴力 横截面积若以集中力作用于杆件端面上，则集中力作用点附近区域内的应力分布比较复杂，公式（1.1）只能计算这个区域内横截面上的平均应力，不能描述作用点附近的真实情况。这就引出，端截面上外力作用方式不同，将有多大影响的问题。实际上，在外力作用区域内，外力分布方
2、式有各种可能。例如在图1a和b中，钢索和拉伸试样上的拉力作用方式就是不同的。不过，如用与外力系静力等效的合力来代替原力系。则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力系作用区域略远处（例如，距离约等于截面尺寸处），上述代替的影响就非常微小，可以不计。这就是圣维南原理。根据这一原理，图1a和b所示杆件虽上端外力的作用方式不同，但可用其合力代替，这就简化成相同的计算简图（图1c）。在距离端截面略远处都可以用公式（1.1）计算应力。图1 外力作用方式不同的杆件圣维南原理提出至今已有一百多年的历史，虽然还没有确切的数学表示和严格的理论证明，但无数的实际计算和实验测量都证实了它的正确性。本文将利用ANS
3、YS软件，通过对实例模型的数值分析计算，证明圣维南原理。选择建立一个二维平面模型作为研究对象，然后对此模型进行数值证明。分别对平面模型两端施加均布载荷，以及与此集中力静力等效的集中力载荷。绘制应力图以及路径图，比较两种情况下其所受的平均应力分布情况，从而利用此结果证明圣维南原理。运用ANSYS软件可以简单直观的证明圣维南原理，从而可以更加深刻的理解圣维南原理。二 ANSYS软件简介ANSYS公司是由美国著名力学专家、美国匹兹堡大学力学教授John Swanson博士于1970年创建并发展起来的，总部设在美国宾夕法尼亚州的匹兹堡，是目前世界CAE行业中最大的公司。ANSYS软件是集结构、热、流体
4、、电磁场、声场和耦合场分析于一体的大型通用有限元软件。可广泛用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。该软件可在大多数计算机及操作系统中运行，从PC机到工作站直至巨型计算机，ANSYS文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼容。ANSYS软件多物理场耦合的功能,允许在统一模型上进行各式各样的耦合计算,如：热流体耦合,磁电耦合,以及电磁流体热耦合，确保了所有的ANSYS用户的多领域多变工程问题的求解。ANSYS基于Motif的菜单系统是用户能够通过对话框、下拉菜单和子菜单进行数据输入和功
5、能选择，为用户使用ANSYS提供“导航”。ANSYS软件提供了一个不断改进的功能清单， 具体包括：1.结构高度非线性仿真ANSYS采用了牛顿-拉普森迭代求解，并为了增强问题的收敛性，提供了自适应下降、线性搜索、自动载荷步、二分法及弧长法等一系列命令。可以计算由大的位移、应变及有限转动引起的结构几何非线性问题、与时间有关的材料非线性问题以及接触引起的状态非线性问题。2.热分析ANSYS热分析基于能量守恒原理的热平衡方程，用有限元法计算各节点的温度，并导出其它热物理参数。包括热传导、热对流及热辐射三种传导方式。此外，还可以分析相变、有内热源、接触热阻等问题。热分析用于计算一个系统或部件的温度分布，
6、如热量获取或损失、热梯度、热流密度等。3.电磁分析ANSYS可分析电磁场的多方面问题，如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运动效应、电路和能量损失等。可用于有效地分析下面所列的各类设备：电力发电机、变压器、螺线管传动器、电动机、磁成像系统、图象显示设备传感器、磁悬浮装置、波导、开关等。4.设计优化ANSYS提供了两种优化方法，它们可以处理大多数的优化问题。零阶方法是一个很完美的处理方法，可以很有效的处理大多数的工程问题。一阶方法基于目标函数对设计变量的敏感程度，因此更加适合于精确的优化分析。优化中ANSYS采用一系列的分析-评估-修正的循环过程，这个过程重复进行直到所有设计满
7、足要求为止。5.计算流体动力学分析ANSYS程序中的FLOTRAN CFD分析功能是一个用于分析二维及三维流体流动场的先进的工具，可解决如下的问题： 作用于气动翼型上的升力和阻力； 超音速喷管中的流场； 弯管中流体的复杂的三维流动； 计算发动机排气系统中气体压力及温度分布； 研究管路系统中热的层化及分离； 使用混合流研究来估计热冲击的可能性； 用自然对流分析估计电子封装芯片的热性能； 对含有多种流体的热交换器进行研究。 6. 利用ANSYS参数设计语言（APDL）的扩展宏命令功能 APDL有参数、数组参数、表达式和函数、分支和循环、重复和缩写、宏以及用户程序等功能。ANSYS有限元典型分析大致
8、分为3个步骤： 建立有限元模型； 加载和求解； 结果后处理和结果查看。三 利用ANSYS软件验证圣维南原理根据ANSYS有限元典型分析的3个步骤进行圣维南原理的数值验证。1 建立有限元模型1设置单元属性ANSYS中，常用的单元属性包括单元类型、单元实常数、材料属性。 在这里为了获得较好的计算精度，采用四节点四边形板单元（plane42）。 单元实常数的确定依赖于单元类型的特性，实常数的目的是用于补充必要的几何信息和据算参数，这里无需定义。 材料属性，定义材料弹性模量为2.7e11Pa，泊松比为0.32建立实体模型 平面可以表示二维实体，为简化计算，建立二维平面模型。模型尺寸为长20CM宽6CM
9、。3为实体模型分配单元属性根据有限元理论，最终的有限元计算利用的是有限元模型，实体模型是不能进行有限元计算的。在对实体模型进行网格划分前，要为实体模型分配单元属性。将前面定义的单元属性赋予实体模型。4对实体模型进行网格划分ANSYS有两种方式对实体模型进行网格划分。自由网格划分 该操作对实体模型无特殊要求、任何几何模型，即使是不规则的，也可以进行网格划分。映射网格划分 映射网格划分要求被划分的对象如面或体必须形状规则。在这里由于模型简单，采用自由网格划分的方式对实体模型进行网格划分。建立的有限元模型如图2所示图2 建立的有限元模型通过实用菜单List可以查看在建立的有限元模型中生成的节点以及单
10、元的数量和属性，图3为列表显示的节点和单元的相关信息，包括单元属性以及该单元包含哪些节点。图3 单元以及节点列表从列表中可以看出一共生成1216个单元和1300个节点。2 加载和求解1施加载荷及约束 有限元模型建立完毕后，要为模型施加一定的激励，并根据问题的要求设置一定的边界条件。先在模型边界施加面力167N，绘制模型施加面力的应力分布图和路径图，然后给模型施加与之等效的集中力载荷（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）1000N，绘制模型施加面力的应力分布图和路径图，进行比较。本次求解设置的集中力为载荷对称载荷，因此可以对模型中间线上的所有节点设置边界条件，设置节点所有的自由度为0。施加完集中
11、力载荷以及约束后的有限元模型如图4.图4施加载荷及约束后的有限元模型2求解定义分析类型为静态分析，单击求解命令，ANSYS就可以进行分析计算。求解之前ANSYS会弹出状态文本框和求解确认对话框（列举本次分析的相关信息：问题维数、分析类型、载荷步和子步的设置等）如图5所示，确认无误后，便可进行求解。图5状态文本框和求解确认对话框3 结果后处理和结果查看有限元模型建立并求解后，ANSYS工作目录中会生成一个结果记录文件，要使用通用后处理器进行结果分析。ANSYS可以通过图形方式显示计算结果，可以绘制变形图、等值图、矢量图等。1绘制应力等值图通过绘制节点的应力等值图，可以查看模型内部应力具体分布形式
12、及其大小，图6为施加均布载荷节点解的应力等值图，图7为施加集中力载荷节点解的应力等值图。图6施加均布载荷节点解的应力等值图图7施加集中力载荷的节点解应力等值图2绘制路径图 为了验证圣维南原理，采取路径操纵的方式，通过绘制特定的路径，查看路径上的应力分布情况，从而验证圣维南原理。 定义路径（9,3）到（9，-3），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。图8为施加集中力载荷模型，路径（9,3）到（9，-3）的路径等值图。图8点（9,3）到（9，-3）应力分布路径图 原图较小，可放大后进行查看，从图中可以看出，在距离端截面很近的地方，应力分布差别是非常大的，而且应力分布复杂，因此不能采用计算
13、平均应力的方法来计算该区域的应力。定义路径（4,3）到（4，-3），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。图9为施加集中力载荷模型，路径（4,3）到（4，-3）的路径等值图，图10为路径曲线图。图9点（4,3）到（4，-3）应力分布路径图图10点（4,3）到（4，-3）应力分布路径图定义路径（9,3）到（9，-3），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。图11为施加均布载荷模型，路径（9,3）到（9，-3）的路径等值图。图11点（9,3）到（9，-3）应力分布路径图定义路径（4,3）到（4，-3），将要查看的结果数据映射到该路径上，绘制路径图。图12为施加均布载荷模型，路径（4
14、,3）到（4，-3）的路径等值图，图13为路径曲线图。图12点（4,3）到（4，-3）应力分布路径图图13点（4,3）到（4，-3）应力分布路径图比较图8和图11可以看出在与均布载荷等效的集中力载荷作用下，近处的应力分布明显改变；从图9和图10可以看出，在作用与均布载荷等效的集中力载荷下，在距离端截面一定距离（距离约等于截面尺寸处），应力分布相对均匀，最大应力与最小应力之差与最大应力之比约为6%；比较图9和图11以及图10和图13可以看出施加均布载荷与施加集中力载荷在距端面一定距离处作用效果相似，同一路径上应力分布相差不大，从而利用公式（1.1）就可以计算该区域的平均应力，这样计算的结果影响较
15、小可忽略不计。这说明用与面力等效的集中力载荷代替分布载荷时，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。因此，从应力分布图可以验证圣维南原理。4 结论通过ANSYS数值验算可以表面：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的集中力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。从而验证了圣维南原理的正确性。 四 小结通过有限元法以非常直观简单的方法验证了圣维南原理的正确性，加深了对圣维南原理的理解。借助ANSYS这一强大的有限元计算软件，可以解决许多解析计算中无法解决的问题。但是，需要注意的是ANSYS只是计算有限元的工具，它的底层工作的基础还是经典的有限元理论。因此，掌握经典有限元理论是也是非常重要的。五 体会与建议 通过学习有限元理论这门课程，自己切实体会到一个成功的有限元分析必然考虑了众多因素，绝非简单的ANSYS软件操作，它底层工作的基础还是经典的有限元理论。利用ANSYS软件解决问题之前要考虑很多因
