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1、专题四 导 数导数的概念是微积分的核心概念之一， 它有极其丰富的实际背景和广泛的应用 在本专 题中， 我们将复习导数的概念及其运算， 体会导数的思想及其内涵； 应用导数探索函数的单 调性、 极值等性质， 感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用 导数的相关问题主要围 绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理 41 导数概念与导数的运算【知识要点】1导数概念：(1)平均变化率：对于函数yf(x)，定义 f(x2) f (x1) 为函数 y f(x)从 x1到 x2的平均 x2 x1变化率换言之，如果自变量 x 在 x0 处有增量 x，那么函数 f(x)相应地有增量 f
2、(x0 x) f(x0)，则比值 f(x0x) f ( x0 )就叫做函数 yf(x)从x0到 x0 x之间的平均变化率x(2)函数 yf(x)在 xx0 处 的导数 ：函数 yf(x)在 x x0 处 的 瞬时 变化率 是 lim f (x0x) f (x0) ，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f (x0)，即f (x0) lixm0f (x0x) f (x0 )xf (x x) f ( x)x(3)函数 yf(x)的导函数 (导数)：当 x变化时， f(x)是 x的一个函数，我们称它为函数f(x)的导函数 (简称导数 )，即 f ( x) lim2导数的几何意义：函数
3、 yf(x)在点 x0处的导数 f (x0)就是曲线 y f(x)在点 (x0， f(x0)处的切线的斜率，即 k f (x0)3导数的运算：(1) 几种常见函数的导数： (C) 0(C 为常数)； (xn) nxn 1(x0，n Q*)； (sinx) cosx； (cosx) sinx； (ex) ex； (ax) axlna(a 0，且 a 1)；1 (ln x)；x1 (log a x)log a e(a 0，且 a1)x(2) 导数的运算法则： u(x) v(x) u(x) v(x)； u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x) u (x)v(x) u(x) v(x
4、)(v(x) 0).v(x)v2(x)(3) 简单的复合函数 (仅限于形如 f(ax b)的导数：设函数 yf(u)，ug(x)，则函数 y f(u) f g(x)称为复合函数其求导步骤是：y x fugx，其中 fu表示 f对u求导，g x表示 g对 x求导f 对 u 求导后应把 u 换成 g( x)复习要求】1了解导数概念的实际背景；2理解导数的几何意义；3能根据导数定义求函数 yC，yx，yx2，yx3， y 1,y x 的导数；x4能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；5理解简单复合函数 (仅限于形如 f(ax b)导数的求法例题分析】例 1 求下列函
5、数的导数：2(1)y (x 1)( x2 1)；(2) x 1(2) y ； x1(3)y sin2 x；解： (1)方法一： y (x1) 1(4) y ex ln x(x21)(x1)(x21) x21(x1)2x3x22x方法二： y(x1)(x21)x3x2x1， y (x3x2x1)3x22x1(2)方法一：x 1( x 1) (x 1) (x 1)(x 1) (x 1) ( x 1) 2y ( ) 2 2 2x 1( x 1) 2 (x 1)2(x 1)2方法二：x 1 2 2 2 2 y 1 ， y (1 ) ( ) 2 .x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) 2(3)方
6、法一：22y (sin2 x)(2sin x cosx) 2(sin x) cosx sinx (cosx) 2(cos xsin x) 2cos2x 方法二： y (sin2 x) (2 x) cos2x 2 2cos2x(4) y (ex) ln x ex(ln x) exx ln x ex(ln x 1 ) xx ex【评析】 理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件 运用公式和求 导法则求导数的基本步骤为： 分析函数 y f(x) 的结构特征； 选择恰当的求导法则和导数公式求导数； 化简整理结果应注意： 在可能的情况下， 求导时应尽量减少使用乘法的求导法则， 可在求导前利
7、用代 数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量(如(1)(2) 题的方法二较方法一简捷 )对于(3)，方法一是使用积的导数运算公式求解， 即使用三角公式将 sin2x 表示为 sinx和 cosx 的乘积形式， 然后求导数； 方法二是从复合函数导数的角度求解 方法二较方法一简捷 对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确例 2 (1)求曲线 yx2 在点(1，1)处的切线方程；(2)过点 (1， 3)作曲线 yx2 的切线，求切线的方程【分析】 对于 (1)，根据导数的几何意义：函数 yf(x)在点 x0处的导数 f (x0)就是曲
8、线 y f(x)在点 (x0，f(x0)处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切 线方程对于 (2)，注意到点 (1，3)不在曲线 yx2上，所以可设出切点，并通过导数的几何意 义确定切点的坐标，进而求出切线方程解： (1)曲线 y x2在点 (1，1)处的切线斜率为 y 2xx12， 从而切线的方程为 y12(x 1)，即 2xy10(2)设切点的坐标为 (x0,x02) 根据导数的几何 意义知 ，切线的斜率为 y2x|x x 2x0，从 而切线的方程 为2y x0 2x0(x x0).因为这条切线过点 (1， 3)，所以有 3 x02 2x0(1 x0)，整理得 x0
9、 2x0 3 0 ，解得 x0 1，或 x0 3从而切线的方程为 y1 2(x1)，或 y96(x3)， 即切线的方程为 2xy10，或 6xy 90【评析】 用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是：函数 yf(x)在点 x0处的导数 f (x0)就是曲线 yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线的斜率， 即 k f (x0)； 切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程例 3 设函数 f(x) ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点 (1， f(1)处的切线与直线 x 6y 70垂直，导函数 f (x)的最小值为 12求 a，b，c的值【分析】 本题考查函数的奇偶性、
10、二次函数的最值、导数的几何意义等基础知识，以及 推理能力和运算能力题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解 方程组来确定参数 a、b、 c 的值解： f(x)为奇函数， f( x) f(x)，即 ax bx c ax bx c， c 0f (x)3ax2 b的最小值为 12，b 121又直线 x6y 70的斜率为 ，因此， f (1)3ab6，a26综上 ,a2，b 12，c012例 4 已知 a 0，函数 f (x)a ，x(0， )设 0 x1，记曲线 yf(x)在xa点 M(x1， f(x1)处的切线为 l(1) 求 l 的方程；(2)设 l 与 x 轴的交点是 (x
11、2， 0)，证明： 0 x2.a【分析】 对于(1)，根据导数的几何意义，不难求出l 的方程；对于 (2)，涉及到不等式的证明，依题意求出用 进行推理x1表示的 x2后，将 x2 视为 x1的函数，即 x2g(x1)，结合要证明的结论112 (x x1) 1y ( a)解： (1)对 f(x)求导数，得 f (x) 2 ，由此得切线 l的方程为： x(2)依题意，切线方程中令2 1 2 y 0，得 x2 x1 (a) x1 2x1 ax1 x1x1x122由 0 x1，及 x2 2x1 ax1 x1(2 ax1) ，有 x2 0；a另一方面， x2 2x1 ax12a(x1 1)2 1 ，aa
12、1 11从而有 0 x2，当且仅当 x1时， x2.aaa【评析】 本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明涉及 的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合， 具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法1本题中的 (2) 在证明 0 x2时，还可用如下方法：a11 21 2 作法， 1x21 2x1ax121(1ax1)20.a a a 利用平均值不等式， x2 x1(2 ax1) 1 ( ax1)( 2 ax1) 1(ax1 22 ax1)2 a a 21例 5 设函数 f(x) ax (a,b Z)，曲线 yf
13、(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 xb3(1) 求 f(x) 的解析式；(2) 证明：曲线 y f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x1 和直线 y x 所围三角形的面积为定 值，并求出此定值解：(1) f (x) a12(x b)2于是2a 2 b 1,解得a 1,a 2 0,(2 b)2或b 1,9a,4b83因为 a，b Z，所以1f (x) x x111(2) 证明：已知函数 y1 x， y2都是奇函数，x1所以函数 g(x) x 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形x1而 f(x) x 11 ，x1可知，函数 g(x)的图象按向量 a(1，1)平移，即得到函数 f(x)的图象， 故函数 f(x)的图象 是以点 (1， 1)为中心的中心对称图形1(3)证明：在曲线上任取一点 (x0,x0) x0 11234由 f(x0) 11(x0 1)2x02 x0 1x0 1知，过此点的切线方程为1(x0 1)2(x x0) x0 1x0 1令 x1得 y0 ，切线与直线 x 1交点为 (1, 0 ) ；x0 1x0 1令 yx得 y2x01，切线与直线 yx交点为 (2x01，2x01) 直线 x1 与直线 y x 的交点为
