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1、第七部分振动和波动一. 振动内容提要这部分内容主要包括机械振动和机械波两个部分，这两部分联系紧密，振动是波动的基 础，机械波就是机械振动在弹性介质中的传播过程。振动和波动是横跨物理学不同领域物质 运动的重要形式，在物理规律和研究方法上类似，对机械振动和机械波的学习，也是今后研 究其他形式振动和波动的基础，如波动光学。1 .描述简谐运动的物理量简谐运动方程：尤=A cos(I +中)(1) 角频率=2n/T = 2nv，其中t为振动周期，为振动频率，它们只和振动系 统本身的物理性质有关，故又称为固有周期、固有频率。(2) 振幅A = (x0 + (?)2，由初始条件决定。其中x为初位移，v为初速
2、度。(3) 相位f +甲：描述t时刻振动系统的运动状态。t = 0时的相位即为初相位，有tan甲=-M。注意：中具体在哪个象限还须由初始条件进一步判断。x02. 简谐运动的特征(1) 动力学特征 F = kx(2) 运动学特征运动方程：x = A cos(t +中)dx振动速度：v = A sin（t +中）dtd2 x振动加速度：a = A2 cos（t +中）=一2xdt 23. 简谐运动实例（1）弹簧振子：x = A cos（t +中）其中，角频率 = :k/m，则周期T = 2n/w = 2nm/k（2）单摆：6 =6 cos（t + 甲）m其中，角频率必=展/1，则周期T = 2n/
3、必=2n(g4 .旋转矢量法以振幅A为大小的旋转矢量A以匀角速度绕点O作逆时针旋转时，其矢端在%轴(或 y轴)上的投影点在+ A区间内作简谐运动。旋转矢量A的空间位置与谐振动状态存在对应关系，其长度即为谐振动的振幅A，其旋转的角速度即为振动角频率，初始时刻它和% 轴的夹角即为振动的初相位中，r时刻的夹角即为振动相位t+中。但要注意，做简谐运动 的是矢量端点的投影点，不是矢量本身，矢量端点做圆周运动。利用旋转矢量法可以方便的对简谐运动作分析，直观而有效，尤其是在分析相位问题时 十分方便，应重点掌握。5 .简谐运动的能量动能：E = mv2 = kA2sin2（t + 中） k 22势能：E =
4、2kx2 = 2kA2cos2（t + 中）动能和势能均作周期性变化，变化频率是振动频率的2倍。总能量E =气+ =扣2 = 2 mA22。运动过程中动能气和势能E p互相转化，它们的总量不变，即作简谐运动的系统机械能守恒。6 .简谐运动的合成(1) 同方向、同频率简谐运动的合成若两个分运动分别为% = A cos（wt +中）、%2 = A2 cos（t + %）则合成后仍为简谐运动，方程为 = %1+工之二人COs3+)，振幅A = JA12 + A2 + 2A1 A2cos&，其中场=%无为两分振动的相位差。初相位满足tan 中=A sin 中 + A sinpA cos 中 + A c
5、osp当Ap =2kn (k = 0,1,2 )时，振幅A = A1 + A2。此时两分振动同相合成，振动加强。当Ap = (2 k +1)兀(k = 0,1,2 )时，振幅A = |A1 - A2|。此时两分振动反相合成，振动削弱。如果A?，则A = 0，即合振动静止。解题时，若甲为一些特殊值时，可利用旋转矢量法求合运动，比用解析法简便得多。至于多个同方向、同频率简谐运动的合成只需用旋转矢量法作矢量叠加图即可。(2) 同方向、不同频率(频率相近)简谐运动的合成合振动不再是简谐运动，合振动振幅随时间缓慢作周期性变化，变化频率称为拍频V 珅 2 -V1。二. 波动内容提要1. 描述机械波的物理量
6、(1) 波长人：沿波传播方向两个相邻的、相位差为2n的振动质点之间的距离，即一 个完整波形的长度。(2) 周期7：波前进一个波长的距离所需要的时间。(3) 频率v :单位时间内波动所传播的完整波的数目，且有T = 1/v(4) 波速(相速)：振动状态(即振动相位)在单位时间内所传播的距离。(5) 相互关系：u =人/T = v波的周期和频率与波源振动的周期和频率相等。而波速与质元振动速度是不同的。在均 匀的媒质中波速为一定量，而质元的振动速度是周期性变化的。学习中要注意波动物理量和 振动物理量的联系和区别。2. 简谐波波函数的一般形式：Xt xx.y = A cos(t _ -) +中=A c
7、os2n( _ 寸)+中=A cos2n(V t_ ) +中+ uT + 人+ X式中“，”的取法为：当波沿X轴正向传播取“-”，沿X轴负向传播取“+ ”。3. 简谐波的能量(了解) 平均能量密度：订=1 P A22 能流密度：I = wu =1 pA22u注意：一质元的波动能量是不守恒的，动能和势能同相位变化，这和振动能量不同。4. 波的干涉(1) 相干条件：频率相同、振动方向平行、相位差恒定。2 n /、(2) 干涉条件：相位差场=(也-咒)-( 丫2-,)J2knk = 0,1,2,干涉加强 A = A1 + 气AP = j (2 k + 1)nk = 0,12.干涉削弱 A = |A1
8、 -、若两相干波源初相相同，即中2 =气，则上述条件可表示为 k人k = 0,1,2,干涉加强5=七，=| (2 k +1) -k = 0,1,2,.干涉削弱25. 驻波：由振幅、频率和传播速度都相等的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传 播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象。因此驻波不是真正的波。X、 一(1) 驻波方程：y = (2Acos2n-)cos 2nvt人(2) 特征：波腹和波节在空间交替周期性出现，相邻波腹(或波节)的距离为人/2，相邻波腹与 波节的距离为人/4。相邻波节间各质元作同相振动，波节两侧各质元作反相振动。(3) 相位跃变(半波损失)当波从波疏媒质入射到波密媒质，反射端
9、形成波节。此时 反射波在分界处的相位较之入射波跃变了n，相当于出现了半个波长的波程差。6. 多普勒效应设波源频率为，当波源或观察者相对介质运动时，观察者接受到的频率为v = 0 v u v+ s其中，观察者向着波源运动时，v前取正号，远离时取负号；波源向着观察者运动时， 0vs前取负号，远离时取正号。三. 解题指导在这部分内容中，主要要掌握：(1)简谐运动和简谐波的各物理量及其关系。(2)运用 旋转矢量法解题，如求初相位等。(3)简谐运动的运动方程以及波函数的求解。常见习题有： 由振动曲线求振动方程；由振动方程求波动方程；由波形图求波动方程和由波动方程求某点 振动方程等。这里要深刻理解波形图和
10、振动图的区别。(4)同方向、同频率简谐运动的合成， 波的干涉分析等。这里，主要的考试题是关于简谐运动的运动方程以及波函数的求解。下面我们举例说明。例1 一简谐运动的振幅A = 2.0x 10-2m，周期T = 0.5s。当t = 0时，质点处于 x0 = 1.0x 10-2m处，且向正方向运动。求：（1）简谐运动方程。（2）当质点第一次运动到 x = -1.0 x10-2m处所需时间，以及此时质点的速度和加速度。分析（1）利用旋转矢量法可以方便、直观的对谐振动进行分析和求解，特别是确定振 动的相位、初相位非常方便。本题从已知条件即可由旋转矢量法求出振动的初相位，从而建 立运动方程。（2）画出前
11、后两个时刻振动状态对应的旋转矢量，用几何方法求得它们的夹角 中，则由At = 中/，即求得相应的谐振动的运动时间。同样，利用旋转矢量法确定振 动质点在任意时刻的相位（t +甲）后，将其代入振动质点的位移、速度、加速度表达式， 可求得相应的物理量，比解析法一般要简便得多。解（1）由题意：t = 0时，x0= A/2, % 0，如图，由旋转矢量法可得初相位9 = -n/3。又 A = 2.0x10-2m，w = 2n/T = 4n，则运动方程为x = 2.0 x 10 -2 cos(4 nt- n /3)m（2）由图可知Ap角即为质点第一次运动到x = -1. 0x H）处时两对应旋转矢量间的夹角
12、，则At = Ap / w = n /4n = 0.25s此时，旋转矢量与x轴正向夹角即为振动质点的相位，由图可知wt + 9 = 2n/3,.2n则此时质点的速度为 V = -Aw sifty = -0. 2 1 8m s，一2na = - Aw 2 cos= 1.579m - s -2质点的加速度为0矢量法比较方便。3解 质点振动振幅A = 0.10m。而由振动曲线可画出t0 = 0和= 4s时的旋转矢量，如图所示。由图可见初相 = 5n / 24s-1，则运动方程为中=-n/3 ， 而 由 w (t -1 ) = n/ 2 + n/3 得5兀工兀x = 0.10cos（t 一 ）m243
13、例3图为平面简谐波在t = 0时的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz，且此时图中质点P的运动方向向上。求：(1)该波的波动方程；(2)x = 7.5m处质点的运动方程。振幅A和波速u = Xv ；根据点P的运动趋势分析 求解这一类题目应首先写出波 动方程的标准形式，即 y = Acosw(r_x/u) +中，然后设法求 出A、w、u和中等量，这样就做到有的 放矢了。(1)从波形曲线图获取波的特征 量。具体步骤为：从波形图得出波长人、 来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋转矢量法确定其初相 中0。(2)在波动方程确定后，即可得到波线上距原点O为x处质点的运动方程y =
14、 y(t)。解 (1)从图中得知，波的振幅 A = 0.10m，波长X = 20.0m则波速u = Xv = 5.0x 103m-s-1，角频率w = 2nv = 500兀。根据t = 0时点p向上运动，可知波 沿x轴负向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿y轴负方向运动。利用旋转矢量法可得 其初相中=n/3。故波动方程为0y = Acosw(t + x/u) + % = (0.10m)cos500 n(t + x/5000) + n/3(2)x = 7.5m处质点的运动方程为y = (0.10m)cos(500 nt + 13n /12)四. 自测题1. 弹簧振子第一次从平衡位置拉开4cm振
15、动，第二次拉开2cm振动，两次振动中相同 的物理量是(A)振幅；(B)系统总能量； (C)周期；(D)最大回复力。2. 一个单摆，如果摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原 来的一半，则单摆的(A) 频率不变，振幅不变；(B)频率不变，振幅改变；(C)频率改变，振幅不变；(D)频率改变，振幅改变。3. 一平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上随平台一起运动。当振动平 台处于什么位置时，物体对台面的正压力最大(A) 当振动平台运动到最高点时；(B)当振动平台向下运动过振动中心点时；(C)当振动平台运动到最低点时；(D)当振动平台向上运动过振动中心点时。x/cm题4图4. 如图是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像(尸，图)，由图可推断，振动系统(A) 在t1和t2时刻具有相等的动能和相同的动量；(B) 在t
