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1、与轴对称相关的线段之和最短问题 作者: 日期：与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰.问题的引入:在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果.数学模型:1.如图,直线l和l的异侧两点A、B,在直线l
2、上求作一点P,使PA+PB最2.如图，直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最3 .如图，点P是/MON内的一点，分别在OM, ON上作点A, Bo使4PAB的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4 .如图，点P, Q为/MON内的两点，分别在 OM, ON上作点A, B。使四边-U0形PAQB的 周长最小。为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5 .如图，点A是/MON外的一点，在射线 ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小6一如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小为方便
3、归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型(一)直线类1 .如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为 AC=10千米，BD = 30千米，且CD = 30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点B关于直线CD的对称点B,连接AB,交CD于点M则AM+BM = AM+BM = AB,水厂建在 M点时，费用最小如右图，在直角 ABE中，AE = AC+CE = 10+30 = 40EB = 30所以：AB = 50总费用为：50 X3 =
4、150万2 .如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B D作AB，BR EDLBD,连接AC. EG 已知 AB=5 DE=1, BD=8 设 CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+ CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AU CE的值最小？ 根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式 6+4 +M(12-x) 2+9的最小值(1)AC =/8- 2 + 25 , CE =贝U AC+CE = (8-x) 2 + 25 +x2 + 1(2)A、C E三点共线时AC+CEt小连接AE,交BDT点C,则AE就是AC+CEE勺最小值 最小值是10 如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角 A
5、EF 中,AF = 5 EF = 12D2E3.求代数式心2 + 1 + M(4-x)2 + 4 (0 x4)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角 AEF中AF = 3 EF = 4的最小值则 AE = 5所以，这个代数式的最小值是 5（二）角类4 .两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点 P,如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们 知道此题是求运油车所走路程最短， OA与OB相交，点
6、P在/AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点 P关于直线OA和OB的对称点Pi、P2 ,连结P1P2分别交OA、OB于C、D, C、D两点就是使运油车 所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不 是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进 行说明.解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点Pi、P2,连2g P1P2分别交OA、OB于C、D,则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点,则由三角形的三边关系，可知在 C、D两点建加油站运油车所走的路程最点评：在这里没有详细说明为什么在 C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。P25 .如图/AOB = 45 尸是/AOB
7、 内一点，PO =10, Q、P分别是OA、OB上的动点，求 PQR周长的最小值.分别作点P关于OA、OB的对称点Pi、P2,连接P1P2,交 OA、OB 于点 Q, R,连接 OPi, OP2,贝U OP = OPi = OP2 = 10且/ P1OP2 = 90由勾股定理得P1P2 = 10 2（三）三角形类6.如图，等腰RtAABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为即在AC上作一点P,使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B,连接BE,交 AC 于点 P, WJ BE = PB+PE = PB+PEBE的长就是PB+PE的最小值在直角 zB
8、EF 中，EF = 1, BF = 3根据勾股定理，BE = 107 .如图，在 ABC 中，AC = BC=2, / ACB =90, D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值为。即是在直线AB上作一点E,使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C,连接DC交AB于点E,则线段DC的长就是EC+ED的最小值。在直角 DBC中DB=1, BC=2,根据勾股定理可得，DC=T58 .等腰4ABC 中，/A = 200 ,AB = AC = 20, M、 点，求BN+MN+MC的最小值分别作点C、B关于AB、AC的对称点C、B,连接 CB交 AB、AC 于点 M、N, WJ B
9、N+MN+MC =BN+MN+MC = BC, BN+MN+MC 的最小值就是BC的值. / BAC = / BAC , / CAB = / CABN分别是AB、AC上的.BAC = 60. AC = AC , AB = AB, AC = AB .AC = AB.AB C是等边三角形B，C，= 209 .如图，在等边 ABC中，AB = 6, AD BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点，且 AE = 2,求EM+EC的最小值因为点C关于直线AD的对称点是点B,所以连接BE,交AD于点M,则ME+MD最小，过点B作BHXAC于点H,则 EH = AH - AE = 3 - 2 = 1, B
10、H = BC2 - CH2 =勺62 - 32 = 3v3在直角 BHE 中，BE = /BH2 + HE2 =叱3V3)2 + 12 =即（四）正方形类10 .如图，正方形 ABCD的边长为8, M在DC上，且DM =2, N是AC上的一动点，DN + MN的最小值为 o即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小故作点D关于AC的对称点B,连接BM ,交 AC 于点 No 则 DN+MN= BN + MN=BM线段BM的长就是DN+MN的最小值 在直角BCM中，CM=6, BC=8,则 BM= 1 0故DN+MN的最小值是1 011 .如图所示，正方形ABCD的面积为12, 4ABE是等边三角
11、形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2mB. 2乖C. 3D.乖即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小 点D关于直线AC的对称点是点B,连接BE交AC于点P,则BE = PB+PE =PD+PE, BE的长就是PD+PE的最小值BE = AB = 2 312 .在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,则4PBQ周长的最小值为 cm （结果不取近似值）.即在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点DQ =
12、PD+PQ = PB+PQ故DQ的长就是PB+PQ的最小值在直角 CDQ中，CQ = 1 ,CD = 2根据勾股定理，得，DQ = 513 .如图，四边形 ABCD是正方形，AB = 10cm, E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求 PC+PE的最 小值；连接AE ,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在直角 ABE中，求得AE的长为5M5（五）矩形类14 .如图，若四边形 ABCD是矩形，AB = 10cm, BC = 20cm, E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值;作点C关于BD的对称点C,过点C,作CB!BC,交BD于点P,则CE就是PE+PC
13、的最小值20，一 ,、，、，直角 BCD中，CH = 25错误！未定义书签。直角 4BCH 中，BH = 8y15 BCC的面积为：BH XCH = 160所以 CE XBC = 2X160 贝 UCE= 16（六）菱形类15 .如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm, /ABC=45 ,E 为边 BC 上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值;点C关于BD的对称点是点A,过点A作AELBC,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值在等腰 EAB中,求得AE的长为542（七）直角梯形类16 .已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, ABXBC, AD=2, BC=DC
14、=5,点 P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时， APD中边AP上的高为（）A、Z石7 B、土后C、9*万 D、3A171717作点A关于BC的对称点A,连接AD ,交BC于点PAD的长就是PA+PD的最小值贝U AD = PA+PD = PA+PDSaapd = 4在直角 4ABP 中，AB = 4, BP = 1根据勾股定理，得AP = 17所以AP上的高为：2；希=8H（八）圆类17 .已知。的直径CD为4, /AOD的度数为60,点B是AD的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.即是在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点A,连接AB ,交CD于点P,则AB的长就是PA+PB的最小值 连接 OA, OB,则 / AOB=90OA = OB = 4根据勾股
