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1、向量的坐标运算1、平面向量的基本定理及坐标运算(1) 平面向量的基本定理如果匕,。2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量。，有且只有一对实数1,1，使得a = l e + l e，其中e ,e叫做这个平面内所有向量的一组基底。 12112 212例(1)如果ee2是平面a内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是()。A. 若实数 1,1 使l e + l e = 0，则l = l = 01212 22B. 空间任一向量a表示为a = le + l e，这里l ,l是实数1 2 22C. 对实数l,l，向量l e + l e不一定在平面a内。2 12 2D. 对平面内任一向量
2、a, a = l e + l e的实数l ,l有无数对12 22(2)下列各组向量中e广(-1,2), e2 = (5,7)；e广(3,5),e2 = (6,10),小一 ，13、e广(2,- 3),e2= (2,- 4)，有一组能作为表示他们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是()A.B. C . D.解(1)平面向量的基本定理指：如果匕,e2是同一平面内两个不共线向量，那么对这个平面内任一向量a，有且只有一对实数l, l，使a = le + l e，注意，基底。，e是该平面内21212一对不共线向量。选A。(2) 中e = 2e，中e = 4e，故中e ,e共线，不能作为表示它们所在平面
3、内所121212有向量的基底，故选A。(2) 向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一 个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y，使得a = xi + yj。(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a = (x, y)。(3) 平面向量的坐标运算已知 a = (x , y ), b = (x , y )，则 a + b = (x + x , y + y )；11221212a - b = (x - x , y - y )1212l a = (lx, l y )例已知 A (2, 4), B (3, 1), C (3, 4)且 C
4、M = 3CA,CN = 2CB，求 M,n的坐标和MN。 分析由A, B, C的坐标可求出CA ,CB的坐标，设M (x, y),由CM = 3CA,，可求出M的坐标。解A (-2, 4), B (3,-1), C (-3,-4) CA = (1,8), CB = (6,3) CM = 3CA = 3(1,8)= (3,24), CN = 2CB = 2(6,3) = (12,6),设 M (x, y),则 CM =3 + 3, j + 4)| x+ 3= 3| x= 0因此I ，得I| j + 4= 24| j = 20 M (0,20)同理可得N (9, 2)。 MN = (9- 0,2
5、 - 20)= (9,- 18)练习题：1、下列向量组中，能作为表示他们所在平面内所有向量的基底的是()A. 0,0), %= (1,- 2)B. 匕=(-1,2),% = (5,7)C. 3,5), %= (6,10)13D. 匕=(2,- 3),匕=(2厂 4)2、 已知 M (3,-2), N (-5,-1)，且MP = 1MN,则 P 点的坐标为()23A. (-8,1)B.(-1, - -)C.(1, 2)D.(8,-1)3、设i, j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴方向相同的两个单位向量，O为坐标原点， 若 OA = 4i +2 j,OB = 3i +4 j，则 2OA + OB
6、 的坐标是()。A.(1,-2)B.(7,6)C. (5,0)D.(11,8)4、若向量a=(1, 1),b=(1,-1), c =(-1，2)，则 c =()。1A.a3 + b1B. a3, b C.31 -a -b31D -己 a + b.222222.225、已知点A (1,-3)和向量a=(3, 4),若AB = 2a，则点B的坐标为6、在DABC 中，A (7, 8), B (3, 5), C (4, 3), M, N, D 分别是 AB, AC 和 BC 的中点，MN与AD交于F，求DF。7、已知 A (1,-2), B (2, 1), C (3, 2)和 D (2，3),试以
7、AB,AC 为一组基底表 示 AD + BD + CD。2、向量平行的充要条件设a =(x , j ),b= (x , j )，则(b 1 0), a/b ? x j x j = 011221 22 1例三点A(x j ),B(x , j ), C(x , j )共线的充要条件是()1, 12233A. x j - x j = 01 22 1B. x j - x j = 01 33 1C. (x - x)(j - j )= (x - x)(j - j )2 1313121D. (x - x )(x - x )= (j - j )(j - j )21312131解aB = (x - x , j
8、- j )2121AC = (x - x, j - j)3 131.AB / ACj )- (x - x)(j - j )= 013121练习题:1、已知向量 a=(3, 4), b=( sin a ,cos a )且2/小，则 tan a =()3344A.-B -C -D-4433-/3.、厂,1、2、设a = (-,sin a),b =2(cos a，二)，且 a / b ,则锐角a为()3A. 30。b. 60。C. 45。d. 753、如果向量a=(k,1),与b=(4,k)共线且方向相反，则k=()A. 士 2B.-2C.2D.04、已知向量OA = (k,12),OB = (4,
9、5), OC = (- k,10)且 ABC 三点共线，则 k= 5、已知点A (1,-2)，若向量A万与a=(2, 3)同向，AB =213，则点B的坐标为6、已知a=(1, 2), b=(-3, 2),当实数k取何值时ka+2b与2a-4b平行?7、已知向量 a=(1, 2), b=(x, 1), u=a+2b,v=2a-b,且 u/v,求 x。8、若平行四边形三个顶点坐标是A(L- 2)、B(3,7)、C(5,4)，则另一个顶点的坐标为.3、向量的坐标运算与函数(包括三角函数)，解析几何的综合题。例1平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A(3,1), B(-1,3)。若点C满足 O
10、C = a OA+ b OB，其中a,b R且a + b =1,则点C的轨迹方程为()。A. (X- 1)2+(J- 2)2= 5B. 3x+2y-11=0C. 2x-y=0D. x+2y-5=0分析本题主要考查向量的基本概念，共线的向量的基础知识以及轨迹方程的求法。解由平面向量共线定理，当OC = aOA + bOB , a + b = 1时，A, B, C三点共线。因此，点C的轨迹为直线AB,由两点式直线方程J- 1= X- 3，即x+2y-5=03- 1-1-3选D。例2已知ABCD是正方形，BE /AC,|AC|= |CE , EC的延长线交BA的延长线于F,用 向量的坐标法证明AF=
11、AE。分析注意向量坐标法的应用，及平行的充要条件，欲证AF=AE，可建立坐标系，用向量 的坐标运算证明AF=AE证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形边长为1,则A、B坐标为(一1, 1),(0, 1)。若设E坐标为(x, y),则 BE = (x, j - 1) AC = （1,- 1），又 BE / AC T = % 且 IACI = lCElc1+ 3 1- 3 X2 + j 2= 2由两式联合解得E点坐标为（一，一）。设F点坐标为（气,1），则CF =（七,1）又CF与CE共线，于是有13%- 罗3=0则 Xi = - 2- 3即F点的坐标为(-2-、3,1) 存=(-1- x3,
12、0), AE = (%3,- 1- 州=1+ 73= |AE|, AF = AE【点评】向量的坐标法是用向量证明几何问题的一种方法，它可将抽象的逻辑推理转化为单 纯的向量的坐标运算，降低难度，易于接受，但建系要求适当，否则将带来繁琐的运算。练习题：1、已知OA = (2,2), 1AB =(豆cosq,V2sinq)则|而| 的范围是()。A.6,10 B J2,32C 2- 2,2 + 5、已知点 O(0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP = OA + MB，试问：(1) t为何值时，P在x轴上？在y轴上？ P在第二象限？(2) 四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值，请说明理由。6、已知向量 m= (cosa - -告,-1),n = (sina ,1)，m 与 n 为共线向量，且a ? P ,0。(1) 求 sin a + cos a 的值；(2) 求.&2。值。sin a - cos a
