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1、五年级奥数培训资料时间:2021.03. 03创作：欧阳学第六讲同余法解题一、同余这个概念最初是由德国数学家高斯发明的。同余 的定义是这样的：两个整数，a,b,如果他们同时除以一个 自然数 m, 所得的余数相同，则称a,b对于模 m 同余。记作a三b (mod.m) o 读作：a同余于b模 m。同余的性质也比较多，主要有以下一些：1. 对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同 余。例如 201 x95的乘积对于除数7,与 2014-7的余数5和957的余数4的乘积20对于7同余。2. 对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差 就一定能被这个除数整除。例如519和399对于一个除数
2、同余，那么这个除数一定是 519与399的差的因数，即519与399的差一 定能披这个 除数整除。3. 对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍 然同余。例如日20和 29对于一个除数同余，那么20的任何次方都和 29 的相同次方对于这个除数同余，当然余数大小随次 方变化。4. 对于同一个除数，若三个数 a=b (mod m) , b三c (mod m), 那么a,b,c三个数对于除数 m 都同余 (传递 性)例如 60和 76同余于模 8, 76和 204同余于模 8, 那么60,76,204都同余于模8O5. 对于同一个除数，若四个数 a三b (mod m) , c三d(mod m
3、),那么 a土c三cd (mod m),(可加减性)6. 对于同一个除数， 若四个数 a三b (mod m) , c三d(mod m),那么 ac三cd (mod m),(可乘性)二、中国剩余定理解法一个数披3除余1, 披4除余2,披5除余4, 这个数最小是几9解法求3个数：第一个：能同时被3和4整除，但除以5余4,即12X2=24笫二个：能同时被4和5整除，但除以3余1,即20X2 =40笫三个：能同时被3和5整除，但除以4余2,即15x2 =30这 3 个数的最小公倍数为 60,所以满足条件的最小数字为24 + 40+3060=3412X2 = 2420X2 = 4015x2 = 30 中
4、 2 的来历。三、解题技巧同余口诀：差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍 n 倍加”这是同余问题的口 诀。1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余 数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的 最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差二 例：“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3,因为 41=52=63=3,所以取3,表示为603或者60n32）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余 数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的 最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和二 例：“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余 T,因为 4+3=5+2
5、=64-1 =7,所以取+7,表示为 60n+7o3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余 数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数， 加上这个相同的余数，称为：“余同取余例：“一个数 除以4余1,除以5余1,除以6余1,因为余数都是1, 所以取+1,表示为60n+lo4）、最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的 任意整数倍（即上面1、2、3中的 60n）都满足条件，称 为：“最小公倍n倍加： 也称为：“公倍数作周期二三、例题解评例1 :判定288和214对于模37是否同余思路点拨：可直接由定义判断。解：7288214=74=37x2.*.288=214 (mod 37
6、)例2、用412、133和257除以一个相同的自然数，所傅 的余数相同，这个自然数最大是几？【解析】 假设这个自 然数是a,因为412、133和257除以 a 所傅的余数相同，所以 a | (412 - 133),a | (412-257),a | (257- 133),说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要 求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 (155,124,279)=31，所以 a 最大是 31。例3、249x388x234除以19,余数是几？【解析】如果把三个数相乘的积求出来再除以19, 就太麻 烦了，利用同余思想解决就容易了。因为 249三2 (mdo!9) , 388=8
7、(mdol9) ,234三6 (mdol9), 所以 249x388x234三2乂8乂6三1 (mdol9)此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。例4:求1992x59除以7的余数。思路点拨：可应用性质2,将1992x59转化为求1992除以 7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。解：V 1992=4 (mod 7) , 59三3 (mod 7)根据性质5可得：1992x59三4x3 (mod 7 ),余数为 12三7的余数。答：1992x59除以7的余数是5。例5:自然数16520、14903、14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？思路点拨：自然数16520、14903、14177
8、除以m的余数相 同，也就是16520三 14903三 14177 (modm)根据同余补充定义，这三个数同余，那么它们的差就能被 m 整除。要求 m 最大是多少，就是求它们差的最大公约数 是多少。解：因为 1652014903=16171652014177=23431490314177=726(1617、 2343、 726) =33所以m的最大值是33。丄评注D实际上，这三个差数还可以继续两两相减，得到 1617726=891,891726=165,算出 726 和 165 的最大公约数 即可，通常其结果与上面相同。例6:在除13511, 13903,及14598时能剩下相同余数的 最大整数
9、是几？思路点拨：根据同余的性质，若几个数披同一个数除，余 数相同，则这几个数中两两相减的差必矣邑披这个数整除。 所以这个数应是这三个数两两相减后所得数的最大公约 数。解：这两个数两两只减的差是：1390313511=3921459813903=6861458913511=1078因为(392, 686, 1078) =98,所以这个数是98。也可以以上三个差再两两相减，得 686392=294, 再392294=98答：这个最大整数是98。例7: 个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3。这样的三位数共有几个？思路点拨：由中国剩余定理解法求。解法:求 3个数：第一个：能同时被 9和 5 整除
10、，但除以 4 余 3,即45X3=135笫二个：能同时披4和5整除，但除以9余7,即20X8 = 160笫三个：能同时被9和4整除，但除以5余2,即36x2 =这 3 个数的最小公倍数为 180,所以满足条件的最小数字为135 + 160+72180=1877 + 180x5=907 1000所以符合条件的三位数共有 5 个。分别是 7 + 180xn(n=l,2,4,5) 答：这样的三位数共有5个。2222V例8、有一个1997位数，它的每个数位都是2,1997个2这个数除以13, 商的弟100位是几？最后余数是几？2222V【解析】1997个2 这个数除以13,商是有规律的。商是 1709
11、40 六个数循环，那么10X6=164, 即100三。血加6),我们从左向右数“ 170940的笫4个数就是我们找的那个数“9,所以商的第100位是9。余数是几呢？贝 jj 1996 = 4(mod6)解析过程：本题商共有1996位，每6位循环，共有332次循环后余4,所以商的个位数字应是“170940”中的第 4 个，商应是 9,个位的余数就对应商为9时的余数5O三、练习题1.求下列算式中的余数。(1 ) 1997个 1 +73333V(3)1997个 3 十 132222V(2) 1997个 2 J4444(4)1997个 4十132. 6254与37的积除以7,余数是几？3如果某数除48
12、2, 992, 1094都余74,这个数是几？ 4、300、262、205被同一个整数除，得到相同的余数，这个整数是几?5、一个自 然数被247除余63,被248除余63,求这个自 然数被26除的余数。6、一个自然数N披10除余9,披9除余& 被8除余7, 披7除余6,披6除余5,被5除余4,披4除余3,披3 除余2,被2除余1,求 N的最小值。7、两个数除以11分别余 9和10, 这两个数的和除以11 余几？8、甲、乙、丙三个数之和是100,甲数除以乙数，或丙数 除以甲数，得数都商5余1, 乙数是多少？9、求下列各式的余数。(1)2凶三6(2) 48X5(3) 求20的200次方除以13的余数。(4) 求80的1000次方除以12的余数。时间:2021.03. 03创作：欧阳学
