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1、2017届广西南宁市金伦中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1已知集合, ,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，则，故选A.2复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】由题意得， ，其在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选B.3是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由，可得，得，但由不一定能够得到“”，即“”是的充分不必要条件，故选A.4函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得， ，故函
2、数的定义域为，故选D.5已知向量， ，若向量与向量的夹角为，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得， ， ，故选C.6有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：甲 7 8 10 9 8 8 6乙 9 10 7 8 7 7 8则下列判断正确的是（ ）A. 甲射击的平均成绩比乙好B. 乙射击的平均成绩比甲好C. 甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数D. 甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差【答案】D【解析】由题意得，甲射击的平均成绩为，众数为，极差为；乙射击的平均成绩为，众数为，极差为，故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大
3、于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故选D.7执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）A. 33 B. 215 C. 343 D. 1025【答案】C【解析】由题意得， ,故选C.8设随机变量，若，则（ ）A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2【答案】A【解析】因为随机变量，所以,因为，所以,故选A.9在中，角的对边分别为，若， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由余弦定理得， ,故选B.10已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其底面是底边长
4、为，腰长为的等腰三角形，三棱柱的高为，故该几何体的体积是 故选C.【点睛】本题考查了关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时也考查了空间想象能力，考查了由三视图求几何体的表面积，解决此类题目的关键是得到该几何体的形状以及几何体中的数量关系.11已知函数的一个零点是， 是的图像的一条对称轴，则取最小值时， 的单调增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件得， ，又因为 ，此时，又因为 ，由,故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，解答的关键是由题意求出的值，进而确定三角函数的解析式，考查了与正弦函数有关的复合函数的单调性，属于中档题，解决本
5、题的关键就是根据三角函数的图象和性质确定三角函数的解析式.12已知， 是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意, ，当时, ，当时, ，因为在两点处的切线互相平行,且，所以 (否则根据导数相等得出两点重合)，所以在点 处切线的斜率为 ，在点处切线的斜率为所以，即 表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图： 表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是,故选D. 【点睛】本题考查了导数在研究切线方面的应用，同时考查了数形结合的思想，综合性较强，难度较大，属于难题.，解本题时先对原函数求导并判断 ，然后利用导
6、数求出的范围，因此解本题的关键是把问题转化成图形的几何意义来求解.二、填空题13二项式的展开式中含项的系数为_【答案】 【解析】由题意得，二项式的展开式中含项为，故其系数为.14若， 满足则的取值范围是_【答案】【解析】由题意得，可行域如下图所示，当分别过点时取最值，即，故的取值范围是.15如图，已知正三角形的三个顶点都在球的球面上，球心到平面的距离为1，且，则球的表面积为_【答案】【解析】由题意得，正三角形的外接圆半径为，则,故球的表面积为 .16已知双曲线的左、右焦点分别为， 为双曲线上的一点，若， ，则双曲线的离心率是_【答案】【解析】设双曲线的半焦距为，因为， ,设 ，则根据双曲线的定
7、义，得【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义，向量的数量积公式的运用，属于中档题，本题主要通过分析得到，设，再根据双曲线的定义即可求出和之间的关系，进而可求出的值，因此正确运用双曲线的定义是解题的关键.三、解答题17已知各项均为正数的数列的的前项和为，对，有（）求数列的通项公式；（）令，设的前项和为，求证： 【答案】（I）;（）证明过程见解析；【解析】试题分析：（）利用 整理得 ,进而计算可得结论；（）通过分母有理化可知，并项相加即得结论.试题解析：（I）当时， ，得或（舍去）当时， ， ，两式相减得，所以数列是以1为首相，1为公差的等差数列， （）18甲、乙两家商场对同一种商
8、品展开促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示转盘，当指针指向阴影部分（图中两个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为，边界忽略不计）即为中奖乙商场：从装有4个白球，4个红球和4个篮球的盒子中一次性摸出3球（这些球初颜色外完全相同），如果摸到的是3个不同颜色的球，即为中奖（）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？说明理由；（）记在乙商场购买该商品的顾客摸到篮球的个数为，求的分布列及数学期望【答案】（I）顾客在乙商场中奖的可能性大些；（）分布列见解析， .【解析】试题分析：（）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件，利用几何概型求出顾客去甲商
9、场中奖的概率；设顾客去乙商场一次摸出两个相同颜色的球为事件，利用等可能事件概率计算公式求出顾客去乙商场中奖的概率，由此能求出顾客在甲商场中奖的可能性大；（）由题意知的取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.试题解析：（I）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件，食言的全部结果构成的区域为圆盘，面积为（为圆盘的半径），阴影区域的面积为所以设顾客去乙商场一次摸出3个不同颜色的球为事件，则一切等可能得结果有种；所以因为，所以顾客在乙商场中奖的可能性大些（）由题意知， 的取值为0,1,2,3.则， ， ，所以的分布列为0123故的数学期望19如图，几何体中， 平面， 是正方形
10、， 为直角梯形， ， ， 的腰长为的等腰直角三角形（）求证： ；（）求二面角的大小【答案】（I）证明过程见解析；（）二面角的大小为.【解析】试题分析：（）证明，然后证明平面，推出平面，利用直线与平面垂直的性质定理证明；（）建立空间立体直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，求出法向量之间的夹角即可求出二面角的大小试题解析：（I）证明：因为是腰长为的等腰直角三角形，所以.因为平面，所以.又，所以.又，所以平面.所以.（）解：以点为原点， 分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系：因为是腰长为的等腰直角三角形，所以， .所以,.所以.则点.则.设平面的法向量为，则由得得得令，得是平面的一个法向量；易
11、知平面的一个法向量；设二面角的大小为，则，又，解得.故二面角的大小为.20已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，且12（）求抛物线的方程；（）当以为直径的圆的面积为时，求的面积的值【答案】（I）；（） 的面积为4.【解析】试题分析：（I）将代入，利用韦达定理可得， ，利用，可得，代入即可得到的值；（）根据（I）中的值，将化为，可得到的式子，由直径，解方程可求出的值，进而可求出的面积的值.试题解析：（I）设，代入，得设点，则，则，因为，所以，即，解得.所以抛物线的方程为.（）由（I）化为，则.又，因为以为直径的圆的面积为，所以圆的半径为4，直径.则，得，得，得，得（舍去）或，解得.当
12、时，直线的方程为，原点到直线的距离为，且，所以的面积为；当时，直线的方程为，原点到直线的距离为，且，所以的面积为.综上， 的面积为4.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得到根与系数的关系，焦点弦长公式，弦长公式，点到直线的距离公式，数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，合理的利用根与系数的关系和弦长公式是解决问题的关键.21已知函数有两个不同的零点（）求的取值范围；（）记两个零点分别为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围【答案】（I）;（）.【解析】试题分析：（）方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点,对进行求导
13、，通过单调性画出的草图，由与有两个交点进而得出的取值范围; （）分离参数得： ,从而可得恒成立；再令,从而可得不等式在上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可试题解析：（I）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点.又，即当时， ；当时， ,所以在上单调递增，在上单调递减.从而.又有且只有一个零点是1，且在时， ，在时， ，所以的草图如下：可见，要想函数与函数在图像上有两个不同交点，只需.（）由（I）可知分别为方程的两个根，即， ，所以原式等价于.因为， ，所以原式等价于.又由， 作差得， ，即.所以原式等价于.因为，原式恒成立，即恒
14、成立.令，则不等式在上恒成立.令，则，当时，可见时， ，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；当时，可见当时， ；当时， ，所以在时单调递增，在时单调递减.又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，单调性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高，属于难题，其中（2）问中对两根的处理方法非常经典，将两个参数合并成一个参数，然后再构造函数，利用导函数进行分类讨论求解.22已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）把的参数方程式化为普通方程， 的极坐标方程式化为直角坐标方程；（）求与交点的极坐标【答案】（）；（） 与交点的极坐标分别
