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1、3.1.3 两个向量的数量积课堂导学三点剖析一、利用数量积公式求两个向量的夹角的余弦值【例1】 如右图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，OAC=45，OAB=60，求OA与BC夹角的余弦值.思路分析：要求夹角的余弦值，可先利用公式求OABC的数量积.解：=|cos,-|AB|cos,=84cos135-86cos120=24-16.cos,=.OA与BC夹角的余弦值为.温馨提示 由数量积公式可知cosab=因此要求角的余弦值可先求ab.二、利用数量积的性质解决问题【例2】 如下图，已知平行四边形ABCD中，AD，CD，D60，PA平面ABCD，并且PA6，求PC
2、的长思路分析：可将表示成几个向量相加的形式,再由数量积的性质a2=|a|2求出长度.解:,|2=()26242322|cos12061-1249PC7温馨提示 求PC的长，先把PC转化为向量表示，然后自身点积根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方，再开方即为所求三、证明垂直问题【例3】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证：EF平面B1AC.思路分析:要证EF平面B1AC,可证EF与平面B1AC内的两条相交直线垂直,因此只需证=0及B1C=0,即可.证明：设AB=a,=c,=b,则=+=(+)=()=()=(-a+b+c),=a+b.=(-a+b+c
3、)5(a+b)=(b2-a2+ca+cb)=(|b2|-|a|2+0+0)=0.,即EFAB1.同理EFB1C.又AB1B1C=B1,EF平面B1AC.温馨提示 要证明垂直问题，在平行六面体内或在四面体内，一般先选一组基底，然后用向量数量积的性质，证明数量积为零，即可说明两向量垂直.各个击破类题演练 1 四面体ABCD的各棱长都相等，E、F分别是BC、AD的中点，求异面直线AE、CF所成角的余弦值.解析：如右图，设边长为a.=(),=,=（）（）=（a2cos60-a2cos60+a2cos60-a2）=.又|=|=,cos=.余弦值为.变式提升 1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，边长为
4、e,求向量与向量的夹角.解：设基向量=a,=b,=c,则=-a-b，=-a+c，=(-a-b)(-a+c)=e2cos,=.夹角为60.类题演练 2 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且两两夹角为60.则AC1长是多少?解析：|2=（）2=+2=1+1+1+211cos60+211cos60+211cos60=6.|=.变式提升 2 已知在平行六面体ABCDABCD中，AB=4，AD=3，AA=5,BAD=90,BAA=DAA=60，求AC的长.解析：，则|=|2=85，则|=.类题演练 3 已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB=CD，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.解析：，均可用，表示，只要证=0，=0即可.变式提升 3 如右图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O平面PAC.证明：连接DB，取=a,=b,=c,且|a|=|b|=|c|=1.则有=+=a+b,=+=+=()+=a-b+c,=（a+b）（a-b+c）=|a|2+ab-ab-|b|2+ac+bc=-=0.,即ACOB1.又=+=b+c,=（a-b+c）（b+c）=ab-|b|2+cb+ac-bc+|c|2=-+=0，即OB1AP.OB1平面ACP.1
