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1、圆形磁场中的几个典型问题一做就错.常见问题.对于这些问题，针对具许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手, 分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题” 体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明.一、最值问题的解题关键一一抓弦长1 .求最长时间的问题例1真空中半径为 R=3X 10-2m的圆形区域内，有一磁感应强 度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速度vo=i06m / s从磁场边界上直径 ab 一端a点处射入磁场，已知 该粒子比荷为q/m=108c / kg ,不计粒子重力，若要使粒子飞离磁 场时偏转角最大，其入射时粒子初速
2、度的方向应如何？（以V0Oa的夹角 e表示）最长运动时间多长？小结：本题涉及的是一个动态问题， 即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化， 使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化， 同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大.2 .求最小面积的问题例2 带电质点的质量为 m,电量为q,以平行于 Ox轴 的速度v从y轴上的a点射人如图3所示第一象限的区域.为 了使该质点能从 x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可 在适当的地方加一个垂直于 xoy平面、磁感应强度为 B的匀强 磁场.若此
3、磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区 域的最小面积，重力忽略不计.小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置.解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁 场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的1 /4圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径.上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长.二、汇聚发散问题的解题关键一一抓半径当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨
4、迹A乙半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。、-X年义规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒V 桧k对一子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所 7有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点 甲 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。例3如图5所示，x轴正方向水平向右， y轴正方向竖直向上.在半彳空为 R的圆形区域内加一与 xoy平面垂直的匀强磁场. 在坐标原点 O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射 具有相同质量 m、电荷量q ( q 0 )且初速为V0的带电粒子，不 计重力.调节坐标原点 O处的带电微粒发射装置，使其在 xoy平 面内
5、不断地以相同速率 V0沿不同方向将这种带电微粒射入x轴上方，现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向射出，则带电微粒的速度必须满足什么条件？小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题.3.如图甲所木，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在 xoy平面内有与y轴平行 的匀强电场，在半径为 R的圆形区域内加有与 xoy平面垂直的匀强磁场。在坐标原点 O处 放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q (00 )和初速为0的带电粒子。已知重力加速度大小为g。(1)当带电微粒发射装置连续不
6、断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动。求电场强度和磁感应强度的大小和方向。(2)调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率 V0沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示。现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积。答案U）6分）由题目中“带电粒子从坐标原点口处沿F轴正方向进入磁 场后.最绳沿圆形磁场区域的水平直径高开碳瞽并城续沿K轴正方向运黝” 可知，带电抑粒所式重力
7、与电场力平衡，设电场强度大小为，由平衡条件 济小=转 工%电场方向啬,轴正方向申带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，目圆运动半径厂小*设匀里谥坛的感感应他度大小为B.由牛顿第二定律寿,-t掘场方向垂宜干斑面向外（2）（S设由带电做粒发射装置射入第I象限的带电徵粒的制速度方向与*轴成夹爆日.4封速网司则自满足（日（百，由于带电微粒最线将沿x轴正方向运动， 2故方应垂苴.于工电平面向外.芾电曲怛在磁场内做半程为五=运动.由干带电微触的入射方向不同.若魄场充满纸面，它们所对应的运动的轨迹如困所示.为使这些帝串微粒经避西偏转后沿了轴正方向运动，由图可知.它们必须也更。煮信捌运动的老圆的最高点飞闺磁场.
8、 这样磁场边界上P史的坐标p & G应满足方程，KjA CU1 4的条件可如一以r 的中度射入曜通区峨的曲校的语;工力劭迹 2JT - S* +* =贯 H即为所书昭场的足一fll的边 界* 因此. 符含触目塞乎的融小MK场的范国应足圆 X11 + 3 -与产=A*与圆a +尸+=&*峋 文荣部分田中阴景f邰分不 由几何美军* ni&JL* 博曲合帝忤的K1均的第出力, 一芍胃三、边界交点问题的解题关键一抓轨迹方程例4如图7所示，在xoy平面内x0区域中，有一半圆形匀 强磁场区域，圆心为O,半径为 R =0.10m ,磁感应强度大小为B=0.5T ,磁场方向垂直 xoy平面向里.有一线状粒子源
9、放在y轴左侧（图中未画出），并不断沿平行于x轴正方向释放出电荷量为q=+1.6x 10-19C ,初速度 V0 = 1.6 xi06m / s的粒子，粒子的质量为 m =1.0x 10-26kg，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：从y轴任意位置（0, y）入射的粒子离开磁场时的坐标.点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法:相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点, 运用，能较好的提高学生思维.四、周期性问题的解题关键一一寻找圆心角1 .粒子周期性运动的问题例5如图9所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感
10、应强度大小都为(1)若方向向外的磁场范围足够大，离子自A点射出后在两个是对初等数学的抽象B .现有一质量为 m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)从A 点沿aA方向射出.求：磁场不断地飞进飞出， 最后又返回 A点，求返回A点的最短时间及对应的速度.(2)若向外的磁场是有界的，分布在以O点为圆心、半径为 R和2R的两半圆环之间的区域，上述粒子仍从A点沿QA方向射出且粒子仍能返回 A点，求其返回 A点的最短时间.2.磁场发生周期性变化例6如图12所示，在地面上方的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置.在两板之间有一匀强电场，场强按如图13所示规律变化(沿 y轴方向为正方向) 在两板正中间有一圆形
11、匀强磁场区域，磁感应强度按图14所示规律变化，如果建立如图12所示的坐标系，在t=0时刻有一质量 m=9.0X10kg、电荷量q =9.0X10-6C的带正电的小球，以vo=1m / s的初速度沿y轴方向从 O点射入，分析小球在 磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的运动时间及离开时的位置坐标.图14小结：对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆，所以要充分利用圆的对称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性.五、磁场问题的规律前面分析的六个典型例题， 其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四个共同点.(1)物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动.(2
12、)物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解.(3)数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量.(4)解题关键相同：一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应 圆心角关系；三是确定半径和周期， 构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题.【同步练习】1 .如图所示，在半彳5为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点 P垂直磁场射入大XK量的带正电，电荷量为 q,质量为m,速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下
13、说法正确的是（）DA .只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B.对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D.只要速度满足丫=吧，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2.如图所示，长方形 abcd的长ad=0.6m,宽ab=0.3m, O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以 O为圆心Od为半径的四 分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、 质量m=3 10-7kg、电 荷量q=+2X 103C的带正电粒子以速度
14、 v=5X 12m/s沿垂直ad方 向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）CDA.从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C.从Od边射入的粒子，出射点分布在 ab边D.从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3、一质量为册、带电量为q的粒子以速度%从O点沿/轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从 不轴正向夹角为30 ,如图1所示（粒子重力忽略不计）。 试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从O点进入磁场区到达 方点所经历的时间;（3）方点的坐标。力处穿过二轴，速度方向与（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径由图可知,（2）粒子从O至a做匀速圆周运动的时间,从a飞出磁场后做匀速直线运动tan 30ctb=* 逛2代 乐jf广区（彳+屁丽=2R故b点的坐标为（，0)4、在xoy平面内有许多电子（质量为 削、电量为9）,从坐标 O不断 以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于工。y平面向内、磁感强度为3的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于X轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。5 .如图所示，在坐标系 xoy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为 Oi (a,
