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1、专题27 正方形考点一：正方形的性质知识回顾1. 正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2. 正方形的性质：具有平行四边形的一切性质。具有矩形与菱形的一切性质。所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。微专题1（2022黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45，则点B的对应点B1的坐标为（）A（，0）B（，0）C（0，）D（0
2、，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1OB2，即可得出结论【解答】解：如图，连接OB，正方形OABC的边长为，OCBC，BCO90，BOC45，OB2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45后点B旋转到B1的位置，B1在y轴正半轴上，且OB1OB2，点B1的坐标为（0，2），故选：D2（2022广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE1，ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）ABC2D【分析】连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE1，可得DE1，tanEBC，即得EBC
3、30，又AF平分ABE，可得ABFABE30，故AF1，DFADAF1，可知EFDE（1），而M，N分别是BE，BF的中点，即得MNEF【解答】解：连接EF，如图：正方形ABCD的面积为3，ABBCCDAD，CE1，DE1，tanEBC，EBC30，ABEABCEBC60，AF平分ABE，ABFABE30，在RtABF中，AF1，DFADAF1，DEDF，DEF是等腰直角三角形，EFDE（1），M，N分别是BE，BF的中点，MN是BEF的中位线，MNEF故选：D3（2022贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为
4、1和3，则中间小正方形的周长是（）A4B8C12D16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为312，小正方形的周长为248，故选：B4（2022青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，ACE为等边三角形若AB2，则OE的长度为（）ABC2D2【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质可求出OE【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB2，AC2，O为正方形ABCD对角线AC的中点，ACE为等边三角形，AOE90，ACAE2，AO，OE故选：B5（2022泰州）如图，正方形ABCD
5、的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG设DEd1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）AB2C2D4【分析】连接AE，那么，AECG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案【解答】解：如图，连接AE，四边形DEFG是正方形，EDG90，EFDEDG，四边形ABCD是正方形，ADCD，ADC90，ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，d1+d2+d3EF+CF+AE，点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，d1
6、+d2+d3最小值为AC，在RtABC中，ACAB2，d1+d2+d3最小AC2，故选：C6（2022黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DFBC，垂足为F，则DF的长为（）A2+2B5C3D+1【分析】方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：BAG90，AB2，ABC60，运用解直角三角形可得AG2，DG2+2，再求得G30，根据直角三角形性质得出答案方法二：过点E作EGDF于点G，作EHBC于点H，利用解直角三角形可得EH1，BH，再证明BEHDEG，可得DGBH，即可求得答案【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC
7、交于点G，四边形ABED是正方形，BAD90，ADAB，BAG1809090，ABC是边长为2的等边三角形，AB2，ABC60，AGABtanABC2tan602，DGAD+AG2+2，G906030，DFBC，DFDG（2+2）1+，故选D方法二：如图，过点E作EGDF于点G，作EHBC于点H，则BHEDGE90，ABC是边长为2的等边三角形，AB2，ABC60，四边形ABED是正方形，BEDE2，ABEBED90，EBH180ABCABE180609030，EHBEsinEBH2sin3021，BHBEcosEBH2cos30，EGDF，EHBC，DFBC，EGFEHBDFH90，四边形E
8、GFH是矩形，FGEH1，BEH+BEGGEH90，DEG+BEG90，BEHDEG，在BEH和DEG中，BEHDEG（AAS），DGBH，DFDG+FG+1，故选：D7（2022随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，APEF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）图中的三角形都是等腰直角三角形；四边形MPEB是菱形；四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的A只有BCD【分析】利用正方形的性质和中位线的
9、性质可以解决问题；利用的结论可以证明OMMP解决问题；如图，过M作MGBC于G，设ABBCx，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确【解答】解：如图，E，F分别为BC，CD的中点，EF为CBD的中位线，EFBD，APEF，APBD，四边形ABCD为正方形，A、O、P、C在同一条直线上，ABC、ACD、ABD、BCD、OAB、OAD、OBC、OCD、EFC都是等腰直角三角形，M，N分别为BO，DO的中点，MPBC，NFOC，DNF、OMP也是等腰直角三角形故正确；根据得OMBMPM，BMPM四边形MPEB不可能是菱形故错误；E，F分别为BC，CD的中点，EFBD，EFB
10、D，四边形ABCD是正方形，且设ABBCx，BDx，APEF，APBD，BOOD，点P在AC上，PEEF，PEBM，四边形BMPE是平行四边形，BOBD，M为BO的中点，BMBDx，E为BC的中点，BEBCx，过M作MGBC于G，MGBMx，四边形BMPE的面积BEMGx2，四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的E、F是BC，CD的中点，SCEFSCBDS四边形ABCD，四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1）故正确故选：C8（2022宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等若知道图中阴影部分的面积
11、，则一定能求出（）A正方形纸片的面积B四边形EFGH的面积CBEF的面积DAEH的面积【分析】根据题意设PDx，GHy，则PHxy，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得APx+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项【解答】解：设PDx，GHy，则PHxy，矩形纸片和正方形纸片的周长相等，2AP+2（xy）4x，APx+y，图中阴影部分的面积S矩形ABCD2ADH2SAEB（2x+y）（2xy）2（xy）（2x+y）2（2xy）x4x2y2（2x2+xy2xyy2）（2x2xy）4x2y22x2+xy+y22x2+xy2xy，A、
12、正方形纸片的面积x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积y2，故B不符合题意；C、BEF的面积EFBQxy，故C符合题意；D、AEH的面积EHAMy（xy）xyy2，故D不符合题意；故选：C9（2022重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BEAF，则CDF的度数为（）A45B60C67.5D77.5【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到ADF的度数，从而可以求得CDF的度数【解答】解：四边形ABCD是正方形，ADBA，DAFABE90，在DAF和ABE中，DAFABE（SAS），ADFBAE，AE平分BAC，四边形ABCD是正方形，BAEBAC22.5，ADC90，ADF22.5，CDFADCADF9022.567.5，故选：C10（2022重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点OE、F分别为AC、BD上一点，且OEOF，连接AF，BE，EF若AFE25，则CBE的度数为（）A50B55C65D70【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，AOB
