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1、9.9空间距离【教学目标】1.掌握空间两条直线的距离的概念，能在给出公垂线的条件下求出两异面直线的距离.2.掌握点与直线，点与平面，直线与平面间距离的概念.3.计算空间距离时要熟练进行各距离间的相互转化.以点线距离，点面距离为主，在计算前关键是确定垂足，作出辅助图形再应用解三角形知识.4.能借助向量求点面、线面、面面距离【知识梳理】1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.5.借助向量求距
2、离（1）点面距离的向量公式平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.（2）线面、面面距离的向量公式平面直线l，平面的法向量为n，点M、Pl，平面与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.平面，平面的法向量为n，点M、P，平面与平面的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.（3）异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，Ma、Pb，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.【点击双基】1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点
3、，则异面直线AE、BC的距离为A. B. C. D.1解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易证CE=1.选D.答案：D2.在ABC中，AB=15，BCA=120，若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 A.13B.11C.9D.7解析：作PO于点O，连结OA、OB、OC，PA=PB=PC，OA=OB=OC.O是ABC的外心.OA=5.PO=11为所求.选B.答案：B3.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是A. aB. aC. aD. a解析：A到面MBD的距离由等积变形可得.VAMBD=V
4、BAMD.易求d=a.答案：D4.A、B是直线l上的两点，AB=4，ACl于A，BDl于B，AC=BD=3，又AC与BD成60的角，则C、D两点间的距离是_.解析：CD=.答案： 5.设PARtABC所在的平面，BAC=90，PB、PC分别与成45和30角，PA=2，则PA与BC的距离是_；点P到BC的距离是_.解析：作ADBC于点D，PA面ABC，PAAD.AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PDBC，P到BC的距离PD=.答案： 【典例剖析】【例1书】设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8).求D到平面ABC的
5、距离。【例2书】如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且OHO1B，垂足为H。（1） 求证：MO平面BB1C1C；（2） 分别求MO与OH的长；（3） MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线？为什么？求这两条异面直线的距离。【例3书】如图所示，已知四边形ABCD、EADM都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED与AC的中点，求：（1）PM与FQ所成的角；（2）P点到平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离。【例4】如图，已知二面角a-l -b的大小为1200，点Aa，Bb，ACl 于点C，BDl 于点D，且AC=CD
6、=DB=1.求：ABCDabl（1）A、B两点间的距离；（2）AB与CD所成角的大小；（3）AB与CD的距离.解：设则（1）， A、B两点间的距离为2.（2），AB与CD所成角为600为.（3）设与AB、CD都垂直的非零向量为，由得；由得，令x=1，则由、可得z=-1，由法则四可知，AB与CD的距离为.【说明】对于图形是“斜”的，求夹角与距离的问题，虽然不便于建立空间直角坐标系，同样也可以利用平面的法向量转化为向量的计算问题.【例5书】如图，已知二面角PQ为60，点A和点B分别在平面和平面内，点C在棱PQ上，ACP=BCP=30，CA=CB=a.（1）求证：ABPQ；（2）求点B到平面的距离；（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面所成的角为45，求线段CR的长度.【知识方法总结】【作业】
