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1、一元二次方程根与系数的关系（1）导学案 （新版新人教版）第 6 课时 一元二次方程根与系数的关系（1 ）教版一、学习目标掌握一元二次方程根与系数的关系； 能运用一元二次方程根与系数的关系由已知一元二 次方程的一个根求出另一个根与未知系数； 会求一元二次方程两根的倒数和与平方数、两根之 差二、知识回顾 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a工0） 的求根公式为 （ ）2 .解一元二次方程的方法有直接开方法、配方法、 公式法、因式分解法.3 .一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（ 2） 方程有两个相等的实数根；（ 3） 方程没有实数根.三、新知讲解一元二次方
2、程的根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a丰0）有两个实数根x1 , x2，那么,.此定理又叫做韦达定理.在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用 时，注意“ - ”不要漏写； 能用韦达定理的前提条件是 . 一元二次方程根的分布 对于一元二次方程根的分布的讨论，通常有以下几 种情况：有两个正根的条件：（当 a0 时，简化为 ）； 有两个负根的条件：（当 a0 时，简化为 ）； 两根异号的条件：（当 a0 时，简化为 c0 ）； 两根异号，且正根绝对值大的条件：（当 a0 时，简化为 ）； 两根异号，且负根绝对值大的条件：（当 a0 时，简
3、化为 ）四、典例探究不解方程求两个根之和与积【例11不解方程，求方程 3x2+2=1 - 4x两根的和与 积总结：在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式； 前提条件是 ；在使用 时，注意“ - ”不要漏掉练1.（ 2014碑林区校级模拟）方程 2x2 - 6x - 5=0的两根为x1与x2，贝U x1+x2和x1x2的值分别是（）A .- 3和- B.- 3和 C. 3和 D. 3和2 .已知一元二次方程的两根求系数【例 2】（ 2014 春富阳市校级期末）关于 x 的方程x2 - px+q=0的两个根是0和-3,求p和q的值.总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两
4、根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验.此方法要比 直接将根代入求系数方便快捷得多.练 2.（ 2015 枣庄）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0的两个实数根分别为 x1= - 2, x2=4,则 m+n 的值是（ ）A .- 10 B. 10 C.- 6 D. 23.已知一元二次方程的一个根求另一个根【例 3】（ 2015 北塘区二模）已知一元二次方程 x2- 6x+c=0 有一个根为 2,贝另一根为.总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另 一根,一般有两种方法：把已知根代入方程,求得字母的值,解一元二次方程求出另一根；（2）
5、 根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关 系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根练3.（ 2014秋秭归县校级期中）已知 2 -是一元 二次方程x2 - 4x - c=0的一个根，求另一个根及 c的值. 4.根据一元二次方程的系数判断两根的正负【例 4】（ 2008 南汇区二模） 方程 2x2+3x- 5=0 的两 根的符号（ ）A .同号B .异号C .两根都为正D .两根都为负总结：不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和 “根与系数的关系”结合起来进行确定；首先计算判别式，看是大于 0还是等于 0，如果是等 于 0，则两根相等，同号；如果判别式大于 0，则计算 的值，如果 ，可判
6、断 方程的根为一正一负；如果 ，再计算 的值，若为正， 则两根同为正，若为负，则两根同为负.练 4.（ 2014 秋夷陵区校级月考）方程 ax2+bx- c=0 （a0、b0、c0）的两个根的符号为（）A .同号B .异号C .两根都为正D .不能确定五、课后小测一、选择题1.（2015 溧水县一模） 一元二次方程 2x2- 3x- 5=0的两个实数根分别为 x1、x2，则x1+x2的值为（）BCD2 .（ 2015金华）一元二次方程 x2+4x - 3=0的两根为x1、x2，则x1x2的值是（）A 4 B- 4 C3 D- 33 . （2014浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x-
7、 1=0 的两根，则（ ）A x1+x2=- 3， x1x2=- 1 Bx1+x2=- 3， x1x2x1+x2=3， x1x2=- 1 Dx1+x2=3， x1x2（ 2015 衡阳）若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为- 1 ，则另 一个根为（ ）A - 2 B2 C4 D- 35 （2015广西）已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，x1x2=12，则以x1 , x2为根的一元二次方程是（）A x2- 7x+12=0 Bx2+7x+12=0 Cx2+7x- 12=0 Dx2- 7x- 12=06 （ 2015 平南县一模）一元二次方程 x2+px=2 的两根为x1
8、, x2，且x仁-2x2，贝U p的值为（）A 2 B 1 C1 或- 1 D - 17 （ 2015 东西湖区校级模拟）已知 x=2 是方程 x2-6x+m=0的根，则该方程的另一根为（）A 2 B 3 C4 D 88 关于方程式 49x2- 98x- 1=0 的解，下列叙述正确的是（ ）A 无解 B 有两正根C 有两负根 D 有一正根及一负根二、填空题9 .（ 2015滨湖区一模）已知方程 x2 - 5x+2=0的两 个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为10 . （2015南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是，m的值是11 .（ 2015春遂宁校级期中）已知关
9、于 x的方程x2-4x+2=0的两个根是m和n,贝V mn= , m+n= . 三、解答题12 （ 2015 东莞模拟） 已知一元二次方程 x2+px+q=0（p2 - 4q0）的两个根 x1、x2;求证：x1+x2= - p, x1x2=q （ 2014 秋番禺区校级月考）已知方程 x2- kx -6=0的一个根是2,求它的另一个根及 k的值.（2013 防城港）已知关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根- 2, m求m n的值.典例探究答案：【例 1 】不解方程,求方程 3x2+2=1 - 4x 两个根的和 与积分析：先把方程化为一般式,然后根据根与系数的 关系求解解答：解：设
10、x1，x2 是方程的两实数根， 方程化为一般式为 3x2+4x+1=0， 根据题意得，x1+x2= - , x1x2=.点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1 ， x2 是一 元二次方程 ax2+bx+c=0 （az0）的两根时， x1+x2=, x1x2= 练1.（ 2014碑林区校级模拟）方程 2x2 - 6x - 5=0的两根为x1与x2，贝U x1+x2和x1x2的值分别是（）A .- 3 和- B.- 3 和 C. 3 和 D. 3 和分析：根据根与系数关系，已知方程 2x2- 6x- 5=0 的两根为 x1 与 x2. x1+x2= ；x1x2= 即可.解答：解：已知方程为 2x
11、2- 6x- 5=0 的两根为 x1 与 x2，根据根与系数的关系： x1+x2= =3 ；x1x2= =.故选 D. 点评：本题主要考查根与系数关系，已知系数确定 根的相关问题，属于基础题，关键熟练掌握 x1 ， x2 是方 程 x2+px+q=0 的两根时， x1+x2=- p， x1x2=q.【例 2】（ 2014 春富阳市校级期末）关于 x 的方程 x2- px+q=0 的两个根是 0 和- 3，求 p 和 q 的值.分析：根据根与系数的关系得到0-3=p, 0X （- 3）=q,然后解两个方程即可. 解答：解：根据题意得 0- 3=p, 0X( - 3) =q, 所以 p=- 3,
12、q=0.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (az0)的根与系数的关系.练 2.( 2015枣庄)已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0的两个实数根分别为 x1= - 2, x2=4,则 m+n 的值是( )A .- 10 B. 10 C.- 6 D. 2分析：根据根与系数的关系得出-2+4=- m,-2X4=n,求出即可.解答：解：关于 x的一元二次方程x2+mx+n=0的两 个实数根分别为 x1=- 2, x2=4, 2+4=- m 2X4=n,解得： m=- 2，n=- 8， m+n 10,故选 A.点评：本题考查了根与系数的关系的应用，能根据 根与系数的关系得出
13、 2+4= m， 2X 4=n 是解此题的 关键.【例 3】( 2015 北塘区二模)已知：一元二次方程 x2 6x+c=0 有一个根为 2，则另一根为.分析：设方程另一根为 t ，根据根与系数的关系得到 2+t=6 ，然后解一次方程即可 解答：解：设方程另一根为 t ， 根据题意得 2+t=6 ， 解得 t=4 故答案为 4点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (az0)的根与系数的关系练3.( 2014秋秭归县校级期中)已知 2 -是一元 二次方程x2 - 4x - c=0的一个根，求另一个根及 c的值.分析：设方程另一个根为 x1 ，先利用两根之和计算 出 x1 ，然后利用两
14、根之积求出 c 的值.解答：解：设方程另一个根为 x1 ， 根据题意得 x1+2- =4 ， x1 ( 2- ) =c， x1=2+ , c= ( 2 - )( 2+ ) =4 - 3=1.点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(az0) 的根与系数的关系：若方程两个为 x1 , x2，则x1+x2=-， x1x2= .【例 4】( 2008 南汇区二模) 方程 2x2+3x- 5=0 的两 根的符号( )A .同号B .异号C .两根都为正D .两根都为负 分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得到方 程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算 法则进行分析解答：解：设方程
15、的两根是a, b,根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b= 0, ab= v 0,根据两数的积为负数,则两数必异号,则 a, b 异号 故选 B点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系, 同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号练 4（ 2014 秋夷陵区校级月考）方程 ax2+bx c=0 （a0、b0、c0）的两个根的符号为（）A .同号B .异号C .两根都为正D .不能确定分析：首先由 =b2+4ac 0,可知方程有两个不等 的实数根,再由 x1x2= v 0 可知两根异号解答：解： ax2+bx- c=0 （a 0、b 0、c 0）, =b2+4ac 0,方程有两个不等的实数根，设方程 ax2+bx c=0 （a 0、b 0、c 0）的两个根为 x1, x2, x1x2= v 0,两根异号
