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1、圆锥曲线的综合问题（一）2. 了解圆锥曲线的简单最新考纲 1掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;应用；3.理解数形结合的思想.1. 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线 l的方程Ax + By+ C = 0（A, B不同时 为0）代入圆锥曲线 C的方程F（x, y） = 0,消去y（也可以消去x）得到一个关于变量 x（或变量 y）的一元方程，Ax + By+ C = 0 ,即消去 y，得 ax2 + bx + c= 0.F （x, y ）= 0（1）当a丸 时，设一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的判别式为A,则A 0?直线与圆锥曲线
2、C 相交；A= 0?直线与圆锥曲线C相切Av 0?直线与圆锥曲线C相离.当a = 0 , b丸 时，即得到一个一次方程， 则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点， 此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 .2. 圆锥曲线的弦长设斜率为k(k工0)的直线I与圆锥曲线 C相交于A, B两点，A(xi, yi), B(X2, y2),则|AB| 1 + k2|X1 X2|-例题精讲(考点分析)考点一直线与圆锥曲线的位置关系2 2x2 y2【例1】 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆Ci：二+ ;= 1(a b 0)的
3、左焦点为Fi(a2 b21 , 0)，且点 P(0, 1)在 C1 上.(1)求椭圆C1的方程；设直线I同时与椭圆C1和抛物线C2: y2 = 4x相切，求直线I的方程解 椭圆C1的左焦点为F1( 1, 0) ,.c= 1 ,又点P(0 , 1)在曲线C1上，0 1-；+ ；= 1，得 b = 1,贝U a2= b2+ c2 = 2,a2 b2x2所以椭圆C1的方程为2 + y2= 1.(2)由题意可知，直线I的斜率显然存在且不等于0，设直线I的方程为y= kx + m ,x27 + y2=1，由 2消去 y，得(1 + 2k2)x2+ 4kmx + 2m2 2 = 0.y = kx + m因
4、为直线l与椭圆Ci相切，所以 Ai = 16k2m2 4(1 + 2k2)(2m2 2) = 0.整理得2k2 m2+ 1 = 0y2=4x,由消去 y,得 k2x2 + (2km 4)x + m2= 0.y = kx + m因为直线l与抛物线C2相切,所以 A = (2km 4)2 4k2m2 = 0,整理得 km = 1.综合,k =k = 一2, 解得2 或2所以直线m =m = 21的方程为y= 2+ 2或y =Tx 2.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但
5、对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点M至U点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1) 求轨迹C的方程；(2) 设斜率为k的直线I过定点P( 2 , 1)，若直线I与轨迹C恰好有一个公共点，求实数 k 的取值范围.解(1)设点 M(x, y)，依题意 |MF| = |x|+ 1 ,(x 1) 2+ y2 =|x|+ 1，化简得 y2 = 2(|x| + x),4x (x0),故轨迹C的方程为y2 =0 (x v 0).在点 M 的轨迹 C 中，记 Ci： y2 = 4x(x 0); C2： y = 0(x v 0)
6、.依题意，可设直线l的方程为y 1 = k(x+ 2).y 1 = k (x+ 2), 由方程组y2 = 4x,可得 ky2 4y + 4(2 k + 1) = 0.1当k = 0时，此时y = 1.把y = 1代入轨迹C的方程，得x=-.41故此时直线I: y = 1与轨迹C恰好有一个公共点，14当 k丸 时，方程的 A= 16(2 k2 + k 1) = 16(2 k 1)(k + 1)，设直线I与x轴的交点为(xo, 0)，则2 k+ 1由 y 1 = k(x + 2)，令 y = 0 ,得 xo =.kAv 0,1(i )若由解得kv 1，或k-.X0 v 0 ,21所以当kv-1或k
7、2时，直线1与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时 直线I与轨迹C恰好有一个公共点2 k2 + k 1 = 0 ,A= 0,(ii )若即2k+ 1解集为?.X0 ,v 0 ,k1综上可知，当kv1或k或k=0时，直线I与轨迹C恰好有一个公共点考点二弦长问题x2 y2【例2】(2016 四川卷已知椭圆EQ +正=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线I: y= x+ 3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;I交于设0是坐标原点，直线I平行于0T,与椭圆E交于不同的两点 A, B,且与直线点P证明：存在常数 人使得|PT|2=
8、Z|PA| |PB|,并求泊勺值.(1)解由已知，a= 2b，则椭圆E的方程为箱+音=1.x2y2+ = 1 ,由方程组2b2 b2得 3x2- 12x+ (18 2b2)= 0y=- x+ 3,方程的判别式为 A= 24( b2-3)，由0，得b2= 3 ,此时方程的解为x = 2 ,x2y2所以椭圆E的方程为+ = 1.点T的坐标为(2 , 1).6 3(2)证明 由已知可设直线I1的方程为y = fx + m(m工0),1y=-由方程组2+ m,可得y=- x+ 3,2m1 +32m所以p点坐标为238.|PT|2=厂设点A, B的坐标分别为A(xi, yi), B(X2, y2).x2
9、 y26 盲=1，由方程组1y = 2x+ m，可得 3x2 + 4mx + (4m2-12) = 0.方程的判别式为 A= 16(9 2 m2),由A0，解得一23 .,23 , 2 m b 0）经过点（0, 3），离心率为一, a2 b22涉及垂直关系时也可考虑用圆锥曲线左、右焦点分别为F1（ c, 0）, F2（c, 0）.（1）求椭圆的方程；1若直线I： y = x+ m与椭圆交于 A, B两点，与以F1F2为直径的2圆交于C, D两点，且满足担|CD|，求直线l的方程4c 1解(1)由题设知a 2解得 a = 2, b = 3, c= 1 ,b2= a2 c2,22椭圆的方程为x2
10、y2十一=1.4 3(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2+ y2= 1 ,圆心到直线I的距离 d = 2|m|，由 dv 1，得 |m| b 0)的右焦点为F(3 , 0)，过点F的直线交E于A,a2 b2B两点若AB的中点坐标为(1 , - 1)，贝U E的方程为()A.45 + 36=1x2 y2 临+27 =12 2x2y2c.+= 12 2x2 y2D.+= 1189y2已知双曲线x2 - 3 = 1上存在两点M , N关于直线y = x + m对称，且 MN的中点在抛物线y2 = 18x上，则实数 m的值为.解析(1)因为直线AB过点F(3 , 0)和点(1 , - 1
11、),1 x2 y2a23所以直线AB的方程为y = ：(x 3)，代入椭圆方程 -+ 2 = 1消去y，得；+ b2 x2- a2x2 a2 b2429+尹-丹2 = 0,所以AB的中点的横坐标为3-a22a22+ b24即 a2= 2b2,又 a2 = b2+ c2,所以 b = c = 3, a= 3 2，选 D.设 M (X1, y1),N(X2, y2), MN 的中点 P(xo, yo),x2 -y2=13y!则 x2 3 = 1 ,X1 + X2= 2xo, y1 + y2 = 2y0 ,由一得(X2 X1)(X2+ X1)= _(y2-y1)(y2+ y1),3y2 y1 y2+ y1yo显然 X1 MX2.= 3,即 kMN = 3 ,X2 X1 X2 + X1X0M , N 关于直线 y= x + m 对称，二 kMN = 1 ,2718m3m/.yo=- 3xo.又yo= xo + m
