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1、立体几何中的角度问题一、异面直线所成的角1、如图，在四棱锥户-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 底面ABCD, E是PC的 中点，已知 AB = 2，AD = 22，PA = 2，求：(1) 三角形PCD的面积；(2) 异面直线BC与AE所成的角的大小。2、如图6，已知正方体ABCD - ABCD的棱长为2，点E是正方形BCC B的中心，点11111 1F、G分别是棱CD , AA的中点.设点E , G分别是点E，G在平面DCC D内的正投影.1111111(1) 求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的 正投影为底面边界的棱锥的体积；(2) 证明：直线FG 平面FEE】；(3
2、) 求异面直线EG与EA所成角的正弦值1 1二、直线与平面所成夹角1、如图，在四棱锥P- ABCD中，底面为直角梯形，AD/BC ,/BAD = 90。，PA 底面 ABCD，且 PA = AD = AB = 2 BC，M、N 分别为 PC、PB的中点。求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。2、长方体ABCD-A1B1C1D1 AB=3 ,BC=2, %A= 4 ，求AB与面ABD所成的角的正弦值。三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且 ZDAB=60 ，PA = PD = * 2 ,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1) 证明：
3、AD 1平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.2、如图5, AEC是半径为。的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB = FD = &，EF =。6。(1)证明：EB1 FD ；一 一一 2 _ 2 _(2已知点Q,R为线段FE,FB上的点，FQ = 3FE， FR = 3FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。3、如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC 上，PC平面BDE。(1) 证明：BD平面PAC；(2) 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值;4、
4、如图，直三棱柱ABC - ABC中，AC = BC = - AA iii21D是棱AA1的中点，DC1 BD(1) 证明：DC1 1 BC(2) 求二面角A1-BD C1的大小.练习题1、如图5所示，AF、DE分别是。0、。01的直径.AD与两圆所 在的平面均垂直，AD = 8,BC是。0的直径，AB=AC = 6, OE/AD.(I) 求二面角BADF的大小；(II) 求直线BD与EF所成的角.2、如图4,在三棱柱ABC - ABC中， ABC是边长为2的等边三角形，1 1 1AA1 1平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点.(1) 求证：CE 平面ABD ；115 ,(2) 若H为A1
5、B上的动点，当CH与平面A1 AB所成最大角的正切值为亍时，求平面ABD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.1点F在BC边上，且EFXAB，现沿EF将 BEF折起到 PEF的位置，使PEXAE， V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。求V（x）的表达式；3、如图6所示，等腰三角形 ABC的底边AB= 6岳，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，记 BE=x，（1）（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。aAAE =（1 ,巨,1）立体几何中的角度问题答案一、异面直线所成的角1、【解析】(1)VPA底面 ABCD,AP
6、ACD, 又 VCDAD,ACD平面 PAD,ACDXPD,又. PD = 3；22 + （2.巨）2 = 23 , CD=2, .PCD的面积为1 x2x2容=2尚。(2)解法一：取PB的中点F,连接EF,AF, 则EFBC,.WAEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角。在ADF 中，EF= 、AF=。2 ,AE=2,.AEF是等腰直角三角形，.ZAEF=,4.异面直线BC与AE所成的角大小为丁。4解法二：如图所示，建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0),C(2, 2,0),E(1，2,1)，BC = (0, 2巨,0),设AE与BC的夹角为。，则AE - AC 4 v;2COS
7、0 = r =,AEAc| 2 x 22又.00 w ，.0 =2 42、解：(1)依题作点E、G在平面DCCD内的正投影E、G，则E、G分别为CC、1 111111DD的中点，连结EE、EG、ED、DE ,则所求为四棱锥E - DE FG的体积，其底111111面DE1 EG1面积为S = S + S= - X、还 X 巨 + - X1X 2 = 2 ,DE1FG1R 典 LG、脸件 22又 EE 1 面 DE FG , EE = 1 ,.V = - S - EE =-. 1111E-DEiFGi3 DEiFGi1 3(2)以D为坐标原点，DA、DC、DD在直线分别作x轴，y轴，z轴，得气(
8、0,2,1)、M 又 G (201)，F (O12)，E d2)，则 FG1 = (0,-1,-1)，FE = (LIT，FE1 = (01-1)，FG - FE = 0 + (-1) +1 = 0 ， FG - FE = 0 + (-1) +1 = 0 ，即 FG11 FE ，Fg 1 FE，又 FR c FE = F，FG1 1平面FEE1.(3) EG = (0,-2,0)，EA = (1,-2,-1)， gcos v EG , eA =曾:当=之，设异1 11 1|e1gJ|ea|处面直线Eq与曲所成角为0，则sin9 =-3 =g .AE EC 4 gB -=AE BC 2x2v2宙
9、此知,笄而育蛾所成的需的大小扯,口分二、直线与平面所成夹角1、【解】(II)取AD的中点G，连结BG、NG，则 BG / CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.因为PB 平面ADMN ,所以ZBGN是BG与平面ADMN所成的角.在 RtABNG 中，sin ZBGN =竺=史0BG 510故CD与平面ADMN所成的角的正弦值为七一2、解：设点B到AB1C1D的距离为h, VB=Vz/3SEh=l/3 SAbb1c1 - AB，易得 h=12 / 5设AB与面A B1C1D所成的角为。，则sin 9 =h / AB=4 / 5.LAB与面AB1C1D所成的角的正弦
10、值为4/5 二、二面角与二面角的平面角问题 1、法一：（1）证明：取AD中点G,连接PG, BG, BD。因 PA=PD，有 PG 上 AD，在 AABD 中，AB = AD =1，ZDAB = 60，有 AABD 为等边三角形，因此BG AD，BG G = G，所以AD 1 平面 PBG n AD PB, AD GB.又 PB/EF，得 AD 1 EF，而 de/GB 得 AD 1 DE，又 FE c DE = E，所以AD 1 平面 DEF。（2）. PG 1 AD,BG 1 AD./PGB为二面角PADB的平面角，RtAPAG中,PG2 = PA2 - AG2 =在RtAABG中，BG=
11、AB sin60。=M在27 3 ,cos /PGB = PG 2+ BG 2-PB 22PG - BG4 + 4_ 2173 = 下 2 22cos =2、(1)证明：连结CF ,因为AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点， 所以EB1 AC。在 RTNBCE 中，EC =、：BC2 + BE2 = a2 + a2 =、2a。在ABDF中，BF = DF = v5a，kBDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点， 故 CF1BD。在 ACEF 中，CE 2 + CF 2 = (J2a )2 + (2 a )2 = 6 a 2 = EF 2，所以 ACEF 为 Rt A，且CF
12、1 EC。因为 CF 1 BD，CF 1 EC，且 CBD = C，所以 CF 1 平面 bed而 EB u 平面 BED，：.CF1EB。因为 EB 1 AC, EB 1 CF，且 ACF = C,所以 EB 1 平面 BDF , 而 FD u 平面 BDF，二 EB 1 FD。(2)设平面BED与平面RQD的交线为DG._ 22 _ 一由 FQ = FE，FR = FB，知 QR / EB .3 3而 EB u 平面 BDE，：. QR / 平面 BDE，而平面BDE 平面RQD = DG，. QR / DG / EB.由(1)知，BE 1平面BDF，.DG 1平面BDF，而 DR, DB
13、 u 平面 BDF， DG 1 DR，DG 1 DQ，ZRDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.在 RtABCF 中，CF = ：BF2 -BC2 =(血)2 - a 2 = 2a，2asin ZRBD =竺=* = -L， BF v5a 5cos ZRBD =1 sin2 ZRBD =上. v5在ABDR中，由FR = - FB知，3BR=3FB *由余弦定理得，RD = y BD2 + BR2 - 2BD BRcosZRBD、s5a，1=(2a)2 + ()2 2 2a . a33 v53v5 -L干 Ihf PA CC2）设AC与日口交点为Or iOEFCT 面 BDEPC_LV |fl| PA CPC_LT 面 WO?HE此心为一向布n-pe-A 平血如/iz J_ 平 ihi PA c-HD _L 4C叫j&形工$匚口为正方形r. bo =,。氏 PA fj 1Vif-|-t.中 j = = = 二 0H =/r_ 且c %/卫3鸟4 V - 皿之；占心=4二一面H - PC - A的平向角的正切但为34、【答案】（1）在RtADAC中，AD = AC
