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1、立体几何中的角度问题一、异面直线所成的角1、如图,在四棱锥户-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA 底面ABCD, E是PC的 中点,已知 AB = 2,AD = 22,PA = 2,求:(1) 三角形PCD的面积;(2) 异面直线BC与AE所成的角的大小。2、如图6,已知正方体ABCD - ABCD的棱长为2,点E是正方形BCC B的中心,点11111 1F、G分别是棱CD , AA的中点.设点E , G分别是点E,G在平面DCC D内的正投影.1111111(1) 求以E为顶点,以四边形FGAE在平面DCC1D1内的 正投影为底面边界的棱锥的体积;(2) 证明:直线FG 平面FEE】;(3
2、) 求异面直线EG与EA所成角的正弦值1 1二、直线与平面所成夹角1、如图,在四棱锥P- ABCD中,底面为直角梯形,AD/BC ,/BAD = 90。,PA 底面 ABCD,且 PA = AD = AB = 2 BC,M、N 分别为 PC、PB的中点。求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。2、长方体ABCD-A1B1C1D1 AB=3 ,BC=2, %A= 4 ,求AB与面ABD所成的角的正弦值。三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,且 ZDAB=60 ,PA = PD = * 2 ,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1) 证明:
3、AD 1平面DEF;(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.2、如图5, AEC是半径为。的半圆,AC为直径,点E为AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FB = FD = &,EF =。6。(1)证明:EB1 FD ;一 一一 2 _ 2 _(2已知点Q,R为线段FE,FB上的点,FQ = 3FE, FR = 3FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。3、如图5所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,点E在线段PC 上,PC平面BDE。(1) 证明:BD平面PAC;(2) 若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值;4、
4、如图,直三棱柱ABC - ABC中,AC = BC = - AA iii21D是棱AA1的中点,DC1 BD(1) 证明:DC1 1 BC(2) 求二面角A1-BD C1的大小.练习题1、如图5所示,AF、DE分别是。0、。01的直径.AD与两圆所 在的平面均垂直,AD = 8,BC是。0的直径,AB=AC = 6, OE/AD.(I) 求二面角BADF的大小;(II) 求直线BD与EF所成的角.2、如图4,在三棱柱ABC - ABC中, ABC是边长为2的等边三角形,1 1 1AA1 1平面ABC,D,E分别是CC1,AB的中点.(1) 求证:CE 平面ABD ;115 ,(2) 若H为A1
5、B上的动点,当CH与平面A1 AB所成最大角的正切值为亍时,求平面ABD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.1点F在BC边上,且EFXAB,现沿EF将 BEF折起到 PEF的位置,使PEXAE, V(x)表示四棱锥P-ACEF的体积。求V(x)的表达式;3、如图6所示,等腰三角形 ABC的底边AB= 6岳,高CD=3,点E是线段BD上异于B、D的动点,记 BE=x,(1)(2)当x为何值时,V(x)取得最大值?(3)当V(x)取得最大值时,求异面直线AC与PF所成角的余弦值。aAAE =(1 ,巨,1)立体几何中的角度问题答案一、异面直线所成的角1、【解析】(1)VPA底面 ABCD,AP
6、ACD, 又 VCDAD,ACD平面 PAD,ACDXPD,又. PD = 3;22 + (2.巨)2 = 23 , CD=2, .PCD的面积为1 x2x2容=2尚。(2)解法一:取PB的中点F,连接EF,AF, 则EFBC,.WAEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角。在ADF 中,EF= 、AF=。2 ,AE=2,.AEF是等腰直角三角形,.ZAEF=,4.异面直线BC与AE所成的角大小为丁。4解法二:如图所示,建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(2, 2,0),E(1,2,1),BC = (0, 2巨,0),设AE与BC的夹角为。,则AE - AC 4 v;2COS
7、0 = r =,AEAc| 2 x 22又.00 w ,.0 =2 42、解:(1)依题作点E、G在平面DCCD内的正投影E、G,则E、G分别为CC、1 111111DD的中点,连结EE、EG、ED、DE ,则所求为四棱锥E - DE FG的体积,其底111111面DE1 EG1面积为S = S + S= - X、还 X 巨 + - X1X 2 = 2 ,DE1FG1R 典 LG、脸件 22又 EE 1 面 DE FG , EE = 1 ,.V = - S - EE =-. 1111E-DEiFGi3 DEiFGi1 3(2)以D为坐标原点,DA、DC、DD在直线分别作x轴,y轴,z轴,得气(
8、0,2,1)、M 又 G (201),F (O12),E d2),则 FG1 = (0,-1,-1),FE = (LIT,FE1 = (01-1),FG - FE = 0 + (-1) +1 = 0 , FG - FE = 0 + (-1) +1 = 0 ,即 FG11 FE ,Fg 1 FE,又 FR c FE = F,FG1 1平面FEE1.(3) EG = (0,-2,0),EA = (1,-2,-1), gcos v EG , eA =曾:当=之,设异1 11 1|e1gJ|ea|处面直线Eq与曲所成角为0,则sin9 =-3 =g .AE EC 4 gB -=AE BC 2x2v2宙
9、此知,笄而育蛾所成的需的大小扯,口分二、直线与平面所成夹角1、【解】(II)取AD的中点G,连结BG、NG,则 BG / CD,所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.因为PB 平面ADMN ,所以ZBGN是BG与平面ADMN所成的角.在 RtABNG 中,sin ZBGN =竺=史0BG 510故CD与平面ADMN所成的角的正弦值为七一2、解:设点B到AB1C1D的距离为h, VB=Vz/3SEh=l/3 SAbb1c1 - AB,易得 h=12 / 5设AB与面A B1C1D所成的角为。,则sin 9 =h / AB=4 / 5.LAB与面AB1C1D所成的角的正弦
10、值为4/5 二、二面角与二面角的平面角问题 1、法一:(1)证明:取AD中点G,连接PG, BG, BD。因 PA=PD,有 PG 上 AD,在 AABD 中,AB = AD =1,ZDAB = 60,有 AABD 为等边三角形,因此BG AD,BG G = G,所以AD 1 平面 PBG n AD PB, AD GB.又 PB/EF,得 AD 1 EF,而 de/GB 得 AD 1 DE,又 FE c DE = E,所以AD 1 平面 DEF。(2). PG 1 AD,BG 1 AD./PGB为二面角PADB的平面角,RtAPAG中,PG2 = PA2 - AG2 =在RtAABG中,BG=
11、AB sin60。=M在27 3 ,cos /PGB = PG 2+ BG 2-PB 22PG - BG4 + 4_ 2173 = 下 2 22cos =2、(1)证明:连结CF ,因为AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为AC的中点, 所以EB1 AC。在 RTNBCE 中,EC =、:BC2 + BE2 = a2 + a2 =、2a。在ABDF中,BF = DF = v5a,kBDF为等腰三角形,且点C是底边BD的中点, 故 CF1BD。在 ACEF 中,CE 2 + CF 2 = (J2a )2 + (2 a )2 = 6 a 2 = EF 2,所以 ACEF 为 Rt A,且CF
12、1 EC。因为 CF 1 BD,CF 1 EC,且 CBD = C,所以 CF 1 平面 bed而 EB u 平面 BED,:.CF1EB。因为 EB 1 AC, EB 1 CF,且 ACF = C,所以 EB 1 平面 BDF , 而 FD u 平面 BDF,二 EB 1 FD。(2)设平面BED与平面RQD的交线为DG._ 22 _ 一由 FQ = FE,FR = FB,知 QR / EB .3 3而 EB u 平面 BDE,:. QR / 平面 BDE,而平面BDE 平面RQD = DG,. QR / DG / EB.由(1)知,BE 1平面BDF,.DG 1平面BDF,而 DR, DB
13、 u 平面 BDF, DG 1 DR,DG 1 DQ,ZRDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.在 RtABCF 中,CF = :BF2 -BC2 =(血)2 - a 2 = 2a,2asin ZRBD =竺=* = -L, BF v5a 5cos ZRBD =1 sin2 ZRBD =上. v5在ABDR中,由FR = - FB知,3BR=3FB *由余弦定理得,RD = y BD2 + BR2 - 2BD BRcosZRBD、s5a,1=(2a)2 + ()2 2 2a . a33 v53v5 -L干 Ihf PA CC2)设AC与日口交点为Or iOEFCT 面 BDEPC_LV |fl| PA CPC_LT 面 WO?HE此心为一向布n-pe-A 平血如/iz J_ 平 ihi PA c-HD _L 4C叫j&形工$匚口为正方形r. bo =,。氏 PA fj 1Vif-|-t.中 j = = = 二 0H =/r_ 且c %/卫3鸟4 V - 皿之;占心=4二一面H - PC - A的平向角的正切但为34、【答案】(1)在RtADAC中,AD = AC