拉格朗日中值定理

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1、拉格朗日中值定理引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定 理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着 很重要的作用研究拉格朗日中值定理的证明 方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的 辅助函数.实际上，能用来证明拉格朗日中值定 理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函 数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法 可以说有无数个.但事实上若从思想方法上分， 我们仅发现五种引入辅助函数的方法首先对 罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义 作一概述.1罗尔(Rolle)中值定理如果函数f X)满足条件：(1)在闭区间队上连

2、续；G)在开区间G,b)内可导；(3)f (a)= f (,),则在S 内至少存在一点，使得广(,)=0罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑 曲线y = f Q在点A,B处的纵坐标相等，那么，在弧 屈上至少有一点&,心，曲线在。点的切线平 行于轴，如图1,注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定 理的结论将不_定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在 属于S）的。，使得八）=。.这就是说定理的条件是 充分的，但非必要的.2拉格朗日队麝）中值定理若函数加满足如下条件：G）在闭区间由上 连续；在开区间S）内可导；则在g）内至少存 在一点 ,使b-a拉格朗日中值定理的几何意义：函数v = /

3、G） 在区间w上的图形是连续光滑曲线弧 岳上至 少有一点C，曲线在c点的切线平行于弦庭.如图 2,从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若八)在闭区间,对两端点的函数值相等，即心=时 则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理.换句 话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个 特殊情形.正因为如此，我们只须对函数f x)作适 当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中 值定理.3证明拉格朗日中值定理3.1教材证法证明 作辅助函数 心=心_也纹显然，函数F 满足在闭区间弱上连续，在开区 间)内可导，而且F(a)= F(b)于是由罗尔中值定 理知道，至少存在一点么5 ,使 F()=f，C)_ f &)- f

4、 ()=0 .即 fQ= f &)- f ().b - ab - a5：(x)= f (x)-1 f (a)+ f(b)- f(a)(x - a)Lb - a_显然，函数甲。在闭区间a, b上连续，在开区间(a, b) 内可导，出)=煎)=0，因此，由罗尔中值定理得， 至少存在一点Mb)，使得桃)=f6fbf=0，即b 一 af，()= f ()- f ()b - a3.2用作差法引入辅助函数法 证明作辅助函数。推广1如图3过原点。作河演，由心与 直线”对应的函数之差构成辅助函数火），因为 直线次的斜率与直线曷的斜率相同，即有： K _K _f（b）-f（a）9的直线方程为：）-凡），0T A

5、B b-ab-a于是引入的辅助函数为：）_心_及）2“（证 b-a明略）推广2如图4过点饥。）作直线眼曲，直 线心的方程为：出）-凡）J），由川）与直线函a & b-a数之差构成辅助函数q,于是有：甲。=心一出）/）（证明略） b-a推广3如图5过点作直线如如，宜如由八）与宜线a，b，函数之差构成辅助函数q，于是有：心=心一尝加方事实上，可过,轴上任已知点Om)作:B, AB 得直线为y = f G)- f G)x+m,从而利用fg)与直线的A,B, b - a函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数A) 都可以用来证明拉格朗日中值定理因m是任意 实数，显然，这样的辅助函数有无多个.3.3用对称

6、法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中 关于x轴的对称函数也有无数个，显然这些函数 也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意 义上看，上面的辅助函数是用曲线函数fx)减去 直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数八)， 即可得与之对称的辅助函数如下：山)=f。+ f(b)- f (a) G - a) - f G)_b 一 aq=f Q- f J)x - f (x)b 一 a.(x )= f(b )- f(a ) (x - a )- f (x)b 一 a.(x)= f(b)- f (a)(x - b)- f (x)b-a等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助 函数显然也有无数个

7、.这里仅以为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明 显然，函数兀）满足条件：G）在闭区 间队上连续；G）在开区间小）内可导； G）礼）-枪）-*）-叫）由罗尔中值定理知，至少存在 b-a一点%），使得ff ）=。，从而有 b-a显然可用其它辅助函数作类似的证 b-a明.3.4转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系s，逆时针旋转适当的角度a ,得新直 jvkjyLa角坐标系X。尸若ox平行于弦，则在新的坐标 系下4）满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中 值定理的证明.y = X since +证明 作转轴变换5csama reW为求出/解出得X = icosOL + y since =

8、 xcosoc + /Osinoc = X（x）Y - -%since + y cosoc -%since + /Ocosoc K（x）由 yGzLyG）得-a since +/Ocosoc =-Z? since +/（Z?）cosoc 9 而tana取a满足上式即可.由芯）在闭区间b-a以上连续，在开区间小）内可导，知&在闭区间 皿上连续，在开区间S）内可导，且簇）2），因 此，由罗尔中值定理知，至少存在一点次m）, 使得戒）=_sina + f们cosa = 0 即广=tan以项槌）b-a3.5用迭加法引入辅助函数法让心迭加一个含待顶系数的一次函数i + m例如令低）=八）-D或心一心+5

9、,通过使也）M），确定出割，即可得到所需的辅助函例如由M）=心_ L+初），令也）*G）得f（aE + m）=fb + m），从而心凡由，而”可取 b-a任意实数，这样我们就得到了辅助函数Q）_也）* m9由m的任意性易知迭加法可构造cp x/X THTTIb-a出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格 朗日中值定理.3.6用行列式引入辅助函数法证明构造一个含八）且满足罗尔中值定理 的函数q,关键是满足也）=松）我们从行列式的x f (x) 1 a f (a) 1 b f (b) 1为0,因此可设易证山)=性质想到行列式的值在尤=a,尤=b时恰恰均，展开得x f (x) 1 a f (a)

10、1 b f (b) 1中(x)= f (b)x + bf (a)+ af (x)一 af (b)一 f (a)x 一 bf (x) *因为心在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可 导，所以甲。在闭区间或上连续，在开区间队)内 可导，且&=松)=。，所以由罗尔中值定理知，至 少存在一点次)，使得此)=。.因为 平口二了(a)一 f (b)4 -b)f口=。即：f, Q)= f G)-f G)b 一 a3.7数形相结合法引理 在平面直角坐标系中，已知勇昵三个 ABC顶点的坐标分别为Af)，Bg (b)，q (c)，则 朗。面积为SAB。21af(a)|1bf(b)，acf(c)这一引理的证明

11、在这里我们不做介绍，下面我们 利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新 的证明.这种方法是将数形相结合，考虑实际背 景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件. 如图，设f )是直线AB与y = f(x)从A点开始的第一个交点，则构造f (a )f (c )f (x )易验证，。满足罗尔中值定理的条件：在闭区间 辰上连续，在开区间(a,c)内可导，而且), 则至少存在一点ce(a,b) MQ=0，即:，使i i i 如果a f(a )c /(c )i f(c)f (a )f (c)。0f (c)=0iiia c 匚i a f (a) i c f (c) i C心但是，这是因为，f (a ) f

12、(c ) = 0ac匚 f(c)则f (Q- f(河f (c) f (a)，这样使得( f (c )成为直线AB c a与y = f J)从A点的第一个交点，与已知矛盾).故i a f (a)i c f (c)i匚f们足罗尔中值定理的要求出发，我们可以摈弃许多=0，即广(J= f G)- f J) = f (c) f (a).若只从满限制条件，完全可以构造山)=;a f；,来解决问1 x f (x)题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造，a；: (a) f (b)来证明柯西中值定 甲 x / 1 / J /1 g (x ) f (x )理.3.8区间套定理证法证明将区间/=a

13、b二等分，设分点为。，作 1 直线x = ，它与曲线y = f (x)相交于过作直 线M L 弦M M -此时，有如下两种可能：111若直线ml与曲线v出)仅有一个交点Ml ly j x /1 1岛y-f (kjMbM，则曲线必在直线ml的一, iMM L侧I.否则，直线ML不平待于直线II .MM由于曲残y J (x)在点M处。七 有苛线，根据曲线上一点切线的定义，直线ML就Ml L 1 1 是曲线y = f (x)在点肱处的切线，从而f G 1)夷)- / (a).由作法知，。在区间(a b)内部，取 1，r 1于是有f G ) f。- f J)b - ay f (x)还有除直氟其很线1设

14、N(x,y)为另外一个交点，这时1 1选取以“为端点的区间，记作/或肩,有1, 11 I5 11讣 a b - a , f f U)f(b)- f(a)，把 /作为新的l n I b a 1=I一 1，1 1 2b ab a1“选用区间”，将I二等分，并进行与上面同样的 讨论，则要么得到|所要求的点；，要么又得到一 个新“选用区间” I .如此下去，有且只有如下两2种情形中的一种发生：(a) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇 到某一个分点C，作直线| c它与曲线广出)交于sxsyjkkM，过点M作直线M L 弦MM ,它与曲线y = f (x)只 有一个交点肱，此时阪s s曲为所求.M ks k f则得一闭区间序列/,满足:nIn =an,气(b) 在逐次等分“选用区间”的过程中，遇 不到上述那种点，I n I n I n L Lb - a /2 a 0(n 8)f (b ) f (a ) f (b) f (a)nnb ab a由知，/构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点次I (n = .A)，此点即为所求.n事实上 lima -limb -S，f (&)存在 lim f 8 W)= f (