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1、word问题一：多面体与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这局部知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规如此的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进展充分的组合，以外接和内切两种形态进展结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者外表积等相关问题.1.1 球与正
2、方体如图1所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，如此；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，如此；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，如此.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例 1 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的外表上，分别是棱，的中点，如此直线被球截得的线段长为 A B CD【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成
3、一个体积最大的球，如此这个球的外表积为 A2B4C8D161.2 球与长方体其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，如此球经过的空间局部的体积为( )A. C.D.【牛刀小试】正四棱柱的底边和侧棱长均为，如此该正四棱锥的外接球的外表积为.1.3 球与正棱柱的高为底面边长为，如图2所示，和分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高的中点，借助直角三角形的勾股定理，可求.例3 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，如此正四棱柱的侧面积
4、有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，假设，如此球的外表积为 A B C D二、球与锥体的组合体规如此的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进展充分的组合，以外接和内切两种形态进展结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者外表积等相关问题.2.1 球与正四面体正四面体作为一个规如此的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球的半径为,取的中点为，为在底面的射影，连接,作一个与边和相切，圆心在高称性可知，外接球和内切球的球心同为.此
5、时，,如此有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进展求解.同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是表现在球为三棱锥的外接球.解决的根本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，如此可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.
6、如图5，三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合.设，如此.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，如此可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.(为长方体的体对角线长).例5 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,假设侧棱,如此正三棱锥外接球的外表积是.【牛刀小试】一个几何体的三视图如如下图，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，如此该几何体的外接球的外表积为( )A B C D2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进展求解.二是球为正棱锥的内切
7、球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥PABC中，PAPB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，如此该三棱锥外接球的体积为 A B. C. 4D.【牛刀小试】正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,假设PA,PB,PC两两互相垂直,如此球心到截面ABC的距离为_.2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进展组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进展求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，
8、可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图8，三棱锥,满足取的中点为,由直角三角形的性质可得：所以点为三棱锥的外接球的球心,如此.例7矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,如此四面体的外接球的体积是( )A. B. C. D.例8 三棱锥中，如此三棱锥的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，如此小球半径r的最大值为 A. (1)R B . (2)RC.R D
9、. R四、 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进展转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.例10 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的外表与8根铁丝都有接触点，如此皮球的半径为 Al0cm B10 cmC10cm D30cm五、与三视图相结合的组合体问题原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进展求解. 例11 【某某省某某市20142015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如如下图，如此该几何体的外接球的球面面积为
10、A.5B.12C.20D.8【牛刀小试】假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如如下图，其顶点都在一个球面上，如此该球的外表积为( )A. B. C. D. 综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，如此作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进展转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【
11、针对训练】1.【2016届某某省某某市一中高三第四次月考】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，假设,如此此球的外表积等于 ABCD2【2016届某某省某某二中高三上学期期中】四面体PABC的外接球的球心O在AB上,且PO平面ABC, 假设四面体PABC的体积为,如此该球的体积为 A B C D3【2016届某某省某某二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，假设该几何体的所有顶点都在一个球面上，如此该球面的外表积为 A B C D4【2016届某某省某某一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，侧面是半球底面圆的内接正方形，如此侧面的面积为 A B C2 D1 5
12、.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，如此其外接球的外表积为( )(A) (B)2(C)3 (D)46.【某某省“五个一名校联盟 2015届高三教学质量监测一】一个几何体的三视图与尺寸如如下图，如此该几何体的外接球半径为 A. B. C. D. 7【2016届某某省某某市六中高三元月月考】外表积为的球面上有四点且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，假设,如此棱锥体积的最大值为8【2016届某某省某某市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如如下图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，如此这个球的外表积是9【201
13、6届某某市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】都是球外表上的点，平面，如此球的外表积等于_10【2016届某某省某某师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥,其中底面四边形是边长为的正方形，且平面,如此球体毛坯体积的最小值应为11【2016届某某省某某市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体中，平面，是边长为的等边三角形假设，如此四面体外接球的外表积为12.正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，如此截面面积的最小值为.13.正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,假设PA,PB,PC两两互相垂直,如此球心到截面ABC的距离为_.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,这个球的体积是p,如此这个三棱柱的体积为 .15.假设圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，如此圆锥的体积为 /
