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1、3 不完全信息静态博弈3.1 简介博弈论在 1970年代之后逐渐进入主流经济学体系，主要是由于 它在不完全信息条件下的经济分析中表现出特别的优势。不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他 主体来说是不清楚的。如在拍卖商品或工程招投标中。信息不完全又称为信息不对称，即其他局中人没有特定局中人清 楚特定局中人自身的特征。不完全信息静态博弈就是假定某些局中人 具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。但对于局中人本身来说，他自身的这些不为人所知的特征对于他 自己来说是清楚的，因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息” (private information)。在博弈论中，习惯地将局
2、中人的“私人信息”集中表现为局中人 的支付函数特征，也就是说，局中人的私人特征将完全通过其支付函 数特征表征出来，而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中 人的支付函数，当然，每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。3.2 理论: 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定局中人拥有私人信息的情况下，其他局中人对特定局中 人的支付函数类型并不清楚，局中人不知道他在与谁博弈，在 1967 年前，博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的，无法进行 分析。Harsany(i 1967、1968)提出了一种处理不完全信息博弈的方法， 即引入一个虚拟的局中人一一“自然N”。N首先行动，决定每个局中人的特征
3、。每个局中人知道自己的特 征，但不知道其他局中人特征。这种方法将不完全信息静态博弈变 成一个两阶段动态博弈，第一个阶段是自然 N 的行动选择，第二阶 段是除N外的局中人的静态博弈。这种转换被称为“Harsanyi转换” 它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。局中人拥有的私人信息为他的“类型”，由其支付函数决定，故 常将支付函数等同于类型。用0表示局中人i的一个特定类型，h表 ii 示局中人i所有可能类型的集合，即0 e h，称h为局中人i的类型空i ii间，i = 1,n。不完全信息静态博弈中，局中人的类型存在多种可能，因而与局 中人相关的各种概念都随其类型的不同而不同。局中人的行动空
4、间ai将随类型0而变化，即a = a(0)。支付函数也是类型依存的，可将其ii i i记为：u = u (a ,a，,a ,0 ) i = 1,n。i i 1 i n i该式给出的是在其他局中人已选定行动a，j = 1,n，j丰i时，j局中人选行动a g A (0 )获得的支付。显然给定a时最大化u的a 与0i i ijiii有关，即a * = a *(0 )，其中a *是给定a时最大化u的a。ii iijii用“类型依存”来描述包括最优战略在内的相关概念与类型的对 应关系。对局中人i,他不知道其他局中人的类型。当他选择行动a e A (0 )i i i时，如果给定其他局中人类型与其最优战略a
5、的一个对应组合a*(0 ), j j jj 士 i，j = 1,n，其支付为：u (a *(0 )a *(0), a , a *(0)*(0),0)。i 1 1i-1 i-1 i i+1 i+1n n i假定局中人i认为其他局中人的 类型组合恰好为0的概率为-iP 6 0)。i -i i记事前的分布密度为P(0 ,.0，,0)，称为“先验概率”即局中i 1 i n人在博弈之前掌握的知识使其对0 0 0 的取值可能性判断。显然， 1 i np G卩)就是一种条件概率的概念，即当局中人i的类型为0时，他认 i -i ii为 0 取值0 的概率为- iiP 0 p)=P(0i,0-i)iiP (0
6、)i_ P(0 ,0 )工 p(0 .,0.)-i i0 e H- i - i这是概率论中著名的贝叶斯公式(Bayes equition)。因为i不知道0，我们这里用von NeumannMorganstern-i效用函数刻画这种不确定下的支付函数，即i的期望支付为工 P(00 L (a * (0 ), a , 0 )i i i i i i i0-i显然，最大化上式的a就是i的最优战略a *，它与0有关，故iiia * _ a *(0 )。当存在一组“类型依存”的最优战略a * _ (a *,a *,a *)，ii i1in满足a*ie arg max 2 P 0aieAi(0i) 0 i-i
7、|0 )u(a* (0), a ,0 )i- i- ii ii _ 1, , n-i则称a *是一个(纯战略)纳什均衡，也称为贝叶斯纳什均衡(BayesNash equilibrium)a * 是类型依存的，即 a * _ a *(0)。ii为了减少复杂性，假定博弈开始之前各个局中人掌握的关于(6，,6 )的分布密度知识是相同的，即概率分布密度P(9，,9 )是所1 n 1 n 有局中人的共同知识。这被称为 Harsanyi 公理。这一公理表明所有 局中人有关自然行动的信念(belief)是相同的。贝叶斯纳什均衡(也简称贝叶斯均衡)是完全信息静态博弈纳什 均衡概念在不完全信息静态博弈上的扩展。
8、有时也称不完全信息静态 博弈为静态贝叶斯博弈或贝叶斯静态博弈。n人静态贝叶斯博弈的战略式表述：局中人类型空间H，,H ；条件概率P，,P ；战略空间1 n1 nA (6 )，,A (6 )；支付函数u (a，,a ,6 ),u (a，,a ,6 )。i 知道6。用1 1 n n1 1 n 1 n 1 n niG = A，A ,6，6 ,P，P ,u，u 表示该博弈。1 n 1 n 1 n 1 n博弈顺序为： 自然n选6二(6 ,6 ),6 g H，局中人i观察到6，但局中人j 土 i1 n i ii仅知道P (6 16 )，不能观察到6。j -j j i n个局中人同时选行动(战略)a = (
9、a ,a )， a g A (6 )。1 n i i i i得到支付=1,，n。i 1 n i该定义不排除局中人j可能拥有关于局中人i类型的某种信息，而 当所有局中人类型空间只有一个元素时,不完全信息静态博弈就退化 为完全信息静态博弈。同时，这里假定A (6 )和u (a ,a ,6 )本身是共同知识，即尽管其他i ii i -i i局中人不知道i的类型6，但他们知道i的战略空间和支付函数是如何i依赖于他的类型的，即当他们知道6时，就必然知道A ()和u ()。iiin人不完全信息静态博弈G =(A，,A ,9，,e ,P，,P ,u，,u 的1 n 1 n 1 n 1 n纯战略贝叶斯纳什均衡
10、是一个类型依存战略组合I*(e /，满足：i i i=1a*(9 ) e arg max 工 P 9 19 )u (a* (9 ), a ,9 ) i = 1,ni ia. eA. (9.) -i i i有限博弈的不完全信息静态博弈至少存在一个贝叶斯纳什均衡。纯战略只是一个行动 a 如何依类型9 而变的规则，不是指一个具ii体的结果。例 市场进入博弈一个完全垄断企业 B 正垄断着一个行业的市场，另一个潜在的试 图进入该行业的企业A,称A为进入者，B为在位者。A不知道B 的成本特征，设 B 有两种可能的成本，即高成本和低成本。两种成 本情况下的博弈矩阵见下表。市场进入博弈B高成本 低成本默认 斗
11、争 默认 斗争40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000, 4000, 400进入不进入假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成 本相同。假若信息是完全的，则当 B 为高成本时，唯一的精炼纳什 均衡为(进入，默认)，另一纳什均衡(不进入，斗争)是含有不可 置信的威胁。当B为低成本时，唯一的纳什均衡为(不进入，斗争), 即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市 场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位 进入成本的损失。当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本设A对B是高成本的先验概率判断为p，则A认为B为低
12、成本 的概率为-p。如果A进入，其期望支付为P(40) + (1 - P)(10)如果 1 不进入，其期望支付为 0。当且仅当p(40) + (1 - P)(-10) 0或P 5时，A选择进入；反之，当p 1 ；5(进入，斗争)，低成本，P 1 ；5(不进入，*)，P c 时，克丽斯选择歌剧, 否则选择拳击.c当 tp p 时，帕特选择拳击, 否则选择歌剧.p克丽斯的期望收益看歌剧：匕(2 +1) + (1 -匕)x 0 =匕(2 +1)x c x x c看拳击：p x 0 + (1 - P) = 1 一匕x x x 选择歌剧最优P (2 +1) 1 一 匕x x即t兰一 3c p因此临界值 c=1一3p帕特的期望收益看拳击：(1 -c )x0 + c (2 +1) = (2 +1)xx p x p看歌剧：(1 - c) + x0 = 1 一 cx xx由选择拳击最优p = c p2 + 3p -x = 0.临界值解得和克丽斯选择歌剧的概率1 一
