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1、三角形的“四心”与平面向量 湖北省 李祖红 万振平向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设，则向量必平分BAC，该向量必通过ABC的内心; 设，则向量必平分BAC的邻补角 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过ABC
2、的垂心 ABC中一定过的中点，通过ABC的重心 点是ABC的外心 点是ABC的重心 点是ABC的垂心 点是ABC的内心 (其中a、b、c为ABC三边) ABC的外心、重心、垂心共线，即 设为ABC所在平面内任意一点，G为ABC的重心，I为ABC的内心，则有 并且重心G（，） 内心I（，）A F E C TB例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上如图设都是单位向量易知四边形AETF是菱形 故选答案B例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为ABC所在平面内一点，如果，则O必为ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上OBCA 故选答案D例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上由条件可推出 故选答案D例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 事实上 故选答案D
